Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité¶
Domaine : Algèbre · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Équations fonctionnelles : substitutions
L'idée¶
L'équation de Cauchy est
Ses solutions évidentes sont les fonctions linéaires \(f(x) = cx\). La question est : y en a-t-il d'autres ?
Sur \(\mathbb{Q}\), non. Avec \(x = y = 0\), on a \(f(0) = 0\) ; avec \(y = -x\), \(f\) est impaire ; par récurrence \(f(nx) = n f(x)\) pour tout entier \(n\) ; enfin \(m\,f\left(\frac{x}{m}\right) = f(x)\). Donc \(f\left(\frac{n}{m}\right) = \frac{n}{m} f(1)\) : toute solution sur \(\mathbb{Q}\) (ou sur \(\mathbb{Z}\)) est \(f(x) = cx\) avec \(c = f(1)\).
Sur \(\mathbb{R}\), il faut une hypothèse de plus. Il existe des solutions « pathologiques », non linéaires, dont le graphe est dense dans le plan. On ne peut pas les écrire explicitement, mais elles empêchent de conclure sans information supplémentaire. Il suffit d'une seule des conditions suivantes pour avoir \(f(x) = cx\) sur \(\mathbb{R}\) :
- \(f\) est continue (même en un seul point) ;
- \(f\) est monotone ;
- \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \geq 0\) (alors \(f\) est croissante, car \(f(y) - f(x) = f(y - x)\)) ;
- \(f\) est bornée sur un intervalle.
Pourquoi la monotonie suffit. Si \(f\) est croissante et \(x\) réel, on encadre \(x\) par des rationnels \(r < x < s\) : alors \(cr = f(r) \leq f(x) \leq f(s) = cs\). En faisant tendre \(r\) et \(s\) vers \(x\), on obtient \(f(x) = cx\).
Toute la difficulté en olympiade est de trouver, dans l'énoncé, la régularité cachée : un signe, une inégalité, un ensemble d'arrivée comme \(\mathbb{R}^+\).
Les quatre équations de Cauchy¶
Elles se ramènent les unes aux autres par \(\exp\) et \(\ln\). Pour des fonctions continues :
| Équation | Domaine | Solutions |
|---|---|---|
| \(f(x + y) = f(x) + f(y)\) | \(\mathbb{R}\) | \(f(x) = cx\) |
| \(f(x + y) = f(x)\,f(y)\) | \(\mathbb{R}\) | \(f = 0\), ou \(f(x) = a^x\) avec \(a > 0\) |
| \(f(xy) = f(x) + f(y)\) | \(]0, +\infty[\) | \(f(x) = c \ln x\) |
| \(f(xy) = f(x)\,f(y)\) | \(]0, +\infty[\) | \(f = 0\), ou \(f(x) = x^c\) |
Par exemple, si \(f(x + y) = f(x) f(y)\) et \(f\) ne s'annule pas, alors \(f(x) = f\left(\frac{x}{2}\right)^2 > 0\) et \(g = \ln f\) vérifie l'équation additive.
L'équation de Jensen \(f\left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2}\) se ramène aussi à Cauchy : \(g = f - f(0)\) est additive, donc les solutions continues sont les fonctions affines.
Exemple résolu¶
Problème
Trouver toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), non identiquement nulles, telles que pour tous réels \(x, y\) :
Étape 1 : reconnaître Cauchy. La première équation est l'équation de Cauchy sur \(\mathbb{R}\). Sans hypothèse de régularité, on ne peut pas encore conclure : il faut la chercher dans la seconde équation.
Étape 2 : trouver un signe. Pour \(x \geq 0\), on écrit \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\) :
Étape 3 : en déduire la monotonie. Si \(x \leq y\), alors \(f(y) - f(x) = f(y - x) \geq 0\). Donc \(f\) est croissante, et \(f(x) = cx\) pour une constante \(c\).
Étape 4 : utiliser la seconde équation. Elle donne \(cxy = c^2 xy\) pour tous \(x, y\), donc \(c = c^2\), soit \(c = 0\) ou \(c = 1\). Comme \(f\) n'est pas identiquement nulle, \(c = 1\).
Vérification. \(f(x) = x\) satisfait bien les deux équations. C'est l'unique solution.
L'étape clé est la deuxième : un carré est positif, et un signe sur les positifs suffit pour Cauchy. C'est la régularité cachée la plus fréquente.
Comment le reconnaître¶
- Après quelques substitutions, on obtient \(g(x + y) = g(x) + g(y)\) pour une fonction auxiliaire \(g\), souvent \(g = f - f(0)\) ou \(g = f - f(1)\).
- Le domaine est \(\mathbb{R}\) et l'énoncé contient une information de signe ou d'ordre : ensemble d'arrivée \(\mathbb{R}^+\), inégalité, \(f(x^2)\) qui fait apparaître des carrés.
- Le domaine est \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{N}\) ou \(\mathbb{Q}\) : l'équation additive suffit, sans régularité.
- Des produits \(f(x)f(y)\) ou des arguments \(xy\) : penser aux formes multiplicatives et au logarithme.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| \(f(x + y) = f(x) + f(y) + k\) | \(g = f + k\) est additive |
| Une moyenne : \(f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2}\) | \(g = f - f(0)\) est additive |
| Des carrés dans l'équation | \(f(x^2) = f(x)^2 \geq 0\) ou \(f(x^2) \geq 0\) donne un signe, donc la monotonie |
| Ensemble d'arrivée \(\mathbb{R}^+\) | La positivité donne souvent la monotonie ou une borne |
| Équation multiplicative sur \(]0, +\infty[\) | Poser \(g(t) = \ln f(e^t)\) pour revenir à l'équation additive |
| \(f\) monotone mais pas encore connue | Encadrer par des rationnels, ou passer à la limite |
Exercices d'échauffement¶
- Soit \(f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}\) telle que \(f(x + y) = f(x) + f(y)\) et \(f(1) = 3\). Montrer que \(f(x) = 3x\) pour tout rationnel \(x\).
- Trouver les fonctions continues \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 1\).
- Trouver les fonctions continues \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que \(f\left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2}\).
- Trouver les fonctions continues \(f : \mathbb{R} \to\ ]0, +\infty[\) telles que \(f(x + y) = f(x) f(y)\).
- Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) additive, avec \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \geq 0\). Montrer que \(f\) est croissante, puis que \(f(x) = f(1)\,x\).
L'équation de Cauchy dans la shortlist¶
- 2019 A1, solution 2 : \(g = f - f(0)\) vérifie \(g(a + b) = g(a) + g(b)\) sur \(\mathbb{Z}\), donc est linéaire, sans hypothèse de régularité.
- 2016 A7, solutions 2 et 3 : \(g\) est additive et positive sur \([0, +\infty[\), donc croissante, donc linéaire.
- 2020 A8, solution 1 : l'équation force \(f\) à être croissante, et un passage à la limite en \(0^+\) montre que \(f\) est affine.
- 2021 A8 : une fonction multiplicative positive qui n'est pas une puissance \(x^\tau\) a un graphe dense ; une minoration sur un intervalle l'exclut.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 2 (M. Aassila), p. 515 (équation de Cauchy sur \(\mathbb{Q}\)), p. 516 et 517 (sur \(\mathbb{R}\) : continuité, monotonie, signe, bornes, avec les preuves), p. 517 (équation de Jensen), p. 518 à 520 (les trois autres équations de Cauchy), p. 497 et 500 (fonctions monotones et continues).
Problèmes de la shortlist¶
8 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,2) · dont 3 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 1 · 2 ★ : 1 · 3 ★ : 3 · 4 ★ : 1 · 5 ★ : 2
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2019 A1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2013 A3 · OIM P5 | ★★☆☆☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Partie entière et majorations |
| 2012 A5 | ★★★☆☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2011 A6 · OIM P3 | ★★★☆☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2007 A4 | ★★★☆☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2016 A7 | ★★★★☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2021 A8 | ★★★★★ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2020 A8 | ★★★★★ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |