Sommes, télescopage et transformation d'Abel¶
Domaine : Algèbre · Niveau : débutant · Prérequis : aucun
L'idée¶
Si chaque terme d'une somme est une différence de deux termes consécutifs d'une même suite, presque tout se simplifie :
C'est le télescopage. De même pour un produit : \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{b_{n+1}}{b_1}\).
Toute la difficulté est d'écrire le terme général comme une différence. Les décompositions les plus courantes :
| Terme | Différence |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{k(k+1)}\) | \(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\) |
| \(\dfrac{1}{k(k+2)}\) | \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)\) |
| \(\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}\) | \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right)\) |
| \(k \cdot k!\) | \((k+1)! - k!\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}\) | \(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}\) (quantité conjuguée) |
| \(1 - \dfrac{1}{k^2}\) (dans un produit) | \(\dfrac{k-1}{k} \cdot \dfrac{k+1}{k}\) |
Pour les inégalités, on ne cherche pas une égalité mais un encadrement du terme par des différences, par exemple \(\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\) pour \(k \geq 2\). En sommant, on obtient une borne simple.
Sommes doubles¶
Une somme double \(\sum_{i} \sum_{j} a_{i,j}\) peut se calculer ligne par ligne ou colonne par colonne : on choisit l'ordre qui simplifie. C'est le même principe que le double comptage. Une identité à connaître :
La transformation d'Abel¶
C'est le « télescopage pour les produits » : avec les sommes partielles \(B_i = b_1 + \cdots + b_i\),
On l'obtient en écrivant \(b_i = B_i - B_{i-1}\) et en regroupant. Elle sert quand on contrôle les sommes partielles \(B_i\) (leur signe, une borne) et que les \(a_i\) sont monotones. Par exemple, si \(a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0\) et \(m \leq B_i \leq M\) pour tout \(i\), alors
Exemple résolu¶
Problème
Soit \(S = \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{10\,000}}\). Trouver la partie entière de \(S\).
Étape 1 : encadrer chaque terme par des différences. Par la quantité conjuguée, \(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}\). Comme \(\sqrt{k-1} < \sqrt{k} < \sqrt{k+1}\) :
Étape 2 : minorer en sommant. La minoration, sommée de \(k = 1\) à \(10\,000\), télescope :
Étape 3 : majorer en sommant. On garde le premier terme à part, qui vaut \(1\), et l'on somme la majoration de \(k = 2\) à \(10\,000\) :
Conclusion. \(198 < S < 199\), donc la partie entière de \(S\) est \(198\).
Mettre le premier terme à part a fait gagner exactement ce qu'il fallait : la majoration est très grossière pour \(k = 1\) et fine ensuite. Les encadrements par télescopage sont des versions discrètes des intégrales : ici \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}\), ce qui suggère la suite \(b_k = 2\sqrt{k}\).
Comment le reconnaître¶
- Une somme de \(n\) termes explicites dont on demande une forme close ou une valeur.
- Des fractions dont le dénominateur est un produit de facteurs consécutifs, ou des racines carrées voisines.
- Une inégalité sur une somme : on compare le terme général à une différence.
- Une relation entre termes consécutifs d'une suite, à sommer sur tous les indices, ou sur une période.
- Une somme de produits \(\sum a_i b_i\) dont on connaît les sommes partielles d'un des facteurs.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Fraction rationnelle en \(k\) | Décomposition en éléments simples, puis télescopage |
| Racines carrées | Quantité conjuguée |
| Majorer ou minorer \(\sum f(k)\) | Trouver \(g\) avec \(f(k) \leq g(k) - g(k-1)\) ; deviner \(g\) grâce à une primitive de \(f\) |
| Produit de quotients | Produit télescopique |
| Somme double | Échanger l'ordre de sommation |
| \(\sum a_i b_i\) avec sommes partielles \(B_i\) contrôlées | Transformation d'Abel |
| Suite périodique, relations cycliques | Sommer sur une période : les différences s'annulent |
Exercices d'échauffement¶
- Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\).
- Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot k!\).
- Calculer \(\displaystyle\prod_{k=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)\).
- Montrer que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} < \frac{7}{4}\) pour tout \(n \geq 1\). Indication : garder les deux premiers termes à part.
- Calculer \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \min(i, j)\). Indication : compter, pour chaque \(k\), les couples avec \(\min(i, j) \geq k\).
Télescopage dans la shortlist¶
- 2020 A7, solution 1 : \(\frac{1}{\sqrt{i}} \leq 2\left(\sqrt{i} - \sqrt{i-1}\right)\), exactement la majoration de l'exemple résolu.
- 2021 A5, solution 1 : avec \(s_k = a_1 + \cdots + a_k\), chaque terme est majoré par \(\frac{s_k^3 - s_{k-1}^3}{3}\), et ces majorants se télescopent.
- 2015 A1 : en sommant les minorations obtenues pour chaque indice, on obtient \(a_1 + \cdots + a_m \geq \frac{m}{a_{m+1}}\).
- 2018 A2, solution 2 : sommer les relations sur une période donne \(\sum (a_i - a_{i+3})^2 = 0\).
- 2016 A8 : les inégalités se somment en télescopant, et les sommes \(\sum \frac{1}{k(k+1)}\), \(\sum \frac{1}{k(k+2)}\) se calculent par décomposition.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 1 (M. Aassila), p. 9 à 16 (sommes et produits télescopiques), p. 17 à 22 (sommes doubles), p. 23 à 26 (méthodes, développement d'un produit de sommes) ; tome 2, p. 140 à 147 (formule sommatoire d'Abel, avec exemples).
Problèmes de la shortlist¶
17 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (2,7) · dont 3 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 4 · 2 ★ : 4 · 3 ★ : 4 · 4 ★ : 3 · 5 ★ : 2
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2018 A2 · OIM P2 | ★☆☆☆☆ | Suites et récurrences |
| 2015 A1 | ★☆☆☆☆ | Suites et récurrences · AM-GM et moyennes |
| 2013 N2 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Récurrence et constructions récursives · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2010 N1 | ★☆☆☆☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2021 A3 | ★★☆☆☆ | Partie entière et majorations · Récurrence et constructions récursives |
| 2020 C4 | ★★☆☆☆ | Graphes : degrés, chemins, arbres · Principe extrémal |
| 2007 A3 | ★★☆☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2006 A4 | ★★☆☆☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2024 A5 | ★★★☆☆ | AM-GM et moyennes · Suites et récurrences · Principe extrémal |
| 2023 A4 | ★★★☆☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2021 A5 | ★★★☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2009 A6 · OIM P3 | ★★★☆☆ | Suites et récurrences · Principe extrémal |
| 2021 A7 | ★★★★☆ | Suites et récurrences · AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2020 A7 | ★★★★☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2015 A5 | ★★★★☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2016 A8 | ★★★★★ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2015 A6 | ★★★★★ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |