Shortlist 2015
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Les problèmes de l'OIM 2015
Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2015, choisis dans cette shortlist.
| OIM |
Problème |
Difficulté |
Concepts |
| P1 |
C2 |
★☆☆☆☆ |
Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Double comptage · Principe des tiroirs · Graphes : degrés, chemins, arbres |
| P2 |
N5 |
★★★☆☆ |
Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| P3 |
G6 |
★★★★☆ |
Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical |
| P4 |
G2 |
★☆☆☆☆ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| P5 |
A4 |
★★★☆☆ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| P6 |
C5 |
★★★☆☆ |
Graphes : degrés, chemins, arbres · Principe des tiroirs · Double comptage · AM-GM et moyennes |
Algèbre
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2015 A1 |
★☆☆☆☆ |
Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Suites et récurrences · AM-GM et moyennes |
| 2015 A2 |
★☆☆☆☆ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2015 A3 |
★★☆☆☆ |
Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2015 A4 · OIM P5 |
★★★☆☆ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2015 A5 |
★★★★☆ |
Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2015 A6 |
★★★★★ |
Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
Combinatoire
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2015 C1 |
★☆☆☆☆ |
Principe extrémal · Récurrence et constructions récursives |
| 2015 C2 · OIM P1 |
★☆☆☆☆ |
Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Double comptage · Principe des tiroirs · Graphes : degrés, chemins, arbres |
| 2015 C3 |
★★☆☆☆ |
Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2015 C4 |
★★★☆☆ |
Jeux et stratégies gagnantes |
| 2015 C5 · OIM P6 |
★★★☆☆ |
Graphes : degrés, chemins, arbres · Principe des tiroirs · Double comptage · AM-GM et moyennes |
| 2015 C6 |
★★★★☆ |
Principe extrémal · Bijections et dénombrement |
| 2015 C7 |
★★★★★ |
Graphes : degrés, chemins, arbres · Coloriages et pavages · Principe extrémal · Récurrence et constructions récursives |
Géométrie
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2015 G1 |
★☆☆☆☆ |
Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2015 G2 · OIM P4 |
★☆☆☆☆ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2015 G3 |
★★☆☆☆ |
Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2015 G4 |
★★☆☆☆ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Inversion · Puissance d'un point et axe radical |
| 2015 G5 |
★★★☆☆ |
Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs |
| 2015 G6 · OIM P3 |
★★★★☆ |
Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2015 G7 |
★★★★☆ |
Homothétie · Ceva et Ménélaüs · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2015 G8 |
★★★★★ |
Principe extrémal · Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau |
Théorie des nombres
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2015 N1 |
★☆☆☆☆ |
Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Descente infinie et Vieta jumping |
| 2015 N2 |
★☆☆☆☆ |
Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2015 N3 |
★★☆☆☆ |
Valuations p-adiques et lemme LTE · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2015 N4 |
★★☆☆☆ |
Invariants et monovariants · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Suites et récurrences |
| 2015 N5 · OIM P2 |
★★★☆☆ |
Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2015 N6 |
★★★★☆ |
Principe des tiroirs · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2015 N7 |
★★★★☆ |
Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Théorème des restes chinois · Récurrence et constructions récursives |
| 2015 N8 |
★★★★★ |
Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Principe des tiroirs |