Partie entière et majorations¶

Domaine : Algèbre · Niveau : débutant · Prérequis : aucun

L'idée¶

La partie entière \(\lfloor x \rfloor\) est le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\), et la partie fractionnaire est \(\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \in [0, 1[\). Par exemple \(\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2\), \(\lfloor -2{,}7 \rfloor = -3\) et \(\{-2{,}7\} = 0{,}3\). La partie entière par excès \(\lceil x \rceil\) est le plus petit entier supérieur ou égal à \(x\).

Le seul fait à retenir est la définition, sous forme d'encadrement :

\[\lfloor x \rfloor = n \iff n \leq x < n + 1 \iff x - 1 < n \leq x \qquad (n \text{ entier}).\]

Toute la difficulté est de remplacer la partie entière par cet encadrement : on écrit \(x = n + f\) avec \(n\) entier et \(0 \leq f < 1\), et l'on raisonne sur des inégalités.

Propriétés utiles¶

Propriété	Remarque
\(\lfloor x + m \rfloor = \lfloor x \rfloor + m\) pour \(m\) entier	On peut sortir les entiers
\(\lfloor x + y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{0, 1\}\)	Vaut \(1\) exactement quand \(\{x\} + \{y\} \geq 1\)
\(\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = -1\) si \(x \notin \mathbb{Z}\), \(0\) sinon
\(\left\lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{m} \right\rfloor\) pour \(m\) entier \(\geq 1\)
\(\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor\) = nombre de multiples de \(m\) dans \(\{1, \ldots, n\}\)	Base du comptage
\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor = r \iff r^2 \leq n < (r+1)^2\)	Donc \(n = r^2 + s\) avec \(0 \leq s \leq 2r\)

Deux formules classiques¶

Identité de Hermite. Pour tout réel \(x\) et tout entier \(n \geq 1\) :

\[\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor x + \frac{n-1}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor.\]

Le cas \(n = 2\), \(\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor\), est le plus fréquent.

Formule de Legendre. Pour \(p\) premier, l'exposant de \(p\) dans \(n!\) est

\[v_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \cdots\]

(on compte les multiples de \(p\), puis une fois de plus ceux de \(p^2\), etc.). Voir aussi Valuations p-adiques.

Exemple résolu¶

Problème

Montrer que pour tout entier \(n \geq 1\), on a \(\left\lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n + 2} \right\rfloor\).

Étape 1 : encadrer \(\sqrt{n} + \sqrt{n+1}\). Son carré vaut \(2n + 1 + 2\sqrt{n(n+1)}\). Comme \(n < \sqrt{n(n+1)} < n + \frac{1}{2}\) (élever au carré : \(n^2 < n^2 + n < n^2 + n + \frac{1}{4}\)), on obtient

\[4n + 1 < \left(\sqrt{n} + \sqrt{n+1}\right)^2 < 4n + 2, \quad \text{soit} \quad \sqrt{4n + 1} < \sqrt{n} + \sqrt{n+1} < \sqrt{4n + 2}.\]

Étape 2 : comparer les parties entières. Posons \(m = \left\lfloor \sqrt{4n + 2} \right\rfloor\). Comme \(\sqrt{n} + \sqrt{n+1} < \sqrt{4n + 2}\), sa partie entière vaut au plus \(m\). Si elle était strictement plus petite, on aurait \(\sqrt{n} + \sqrt{n+1} < m \leq \sqrt{4n + 2}\), donc

\[\sqrt{4n + 1} < m \leq \sqrt{4n + 2}, \quad \text{soit} \quad 4n + 1 < m^2 \leq 4n + 2,\]

c'est-à-dire \(m^2 = 4n + 2\).

Étape 3 : conclure par une congruence. Un carré est congru à \(0\) ou \(1\) modulo \(4\), jamais à \(2\). Donc \(m^2 = 4n + 2\) est impossible, et les deux parties entières sont égales.

Le réflexe : pour montrer que \(\lfloor A \rfloor = \lfloor B \rfloor\), on montre qu'aucun entier ne se glisse entre \(A\) et \(B\).

Comment le reconnaître¶

L'énoncé contient \(\lfloor \cdot \rfloor\), \(\lceil \cdot \rceil\) ou \(\{ \cdot \}\), ou parle d'arrondi.
On partage une quantité en parts entières (des kilos, des pièces) : on donne d'abord les parties entières, puis on répartit le reste.
On compte les entiers d'un intervalle, les multiples d'un nombre, ou la valuation d'une factorielle.
On étudie une suite \(\lfloor n\alpha \rfloor\) (suites de Beatty) ou les parties fractionnaires \(\{n\alpha\}\).
On cherche le plus grand entier vérifiant une inégalité : c'est une partie entière déguisée.

Techniques classiques¶

Situation	Technique
Équation contenant \(\lfloor x \rfloor\)	Poser \(n = \lfloor x \rfloor\), résoudre en fonction de \(n\), puis imposer \(n \leq x < n + 1\)
Comparer \(\lfloor x + y \rfloor\) et \(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor\)	Ils diffèrent de \(0\) ou \(1\) selon \(\{x\} + \{y\}\)
Montrer \(\lfloor A \rfloor = \lfloor B \rfloor\)	Aucun entier entre \(A\) et \(B\) (exemple résolu)
Somme de \(\left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor\)	Identité de Hermite
Somme de \(\lfloor k\alpha \rfloor\)	Regrouper \(k\) et \(n - k\), ou compter des points entiers sous une droite
Valuation d'une factorielle	Formule de Legendre
Entier proche de \(\sqrt{n}\)	Écrire \(n = r^2 + s\) avec \(0 \leq s \leq 2r\)

Exercices d'échauffement¶

Résoudre \(\lfloor 2x \rfloor = 5\).
Montrer que \(\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor\) vaut \(0\) si \(x\) est entier et \(-1\) sinon.
Résoudre l'équation \(x^2 - 8\lfloor x \rfloor + 7 = 0\).
Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de \(100!\) ?
Démontrer l'identité de Hermite pour \(n = 2\). Indication : distinguer \(\{x\} < \frac{1}{2}\) et \(\{x\} \geq \frac{1}{2}\).

Partie entière dans la shortlist¶

2023 A1 : on donne d'abord \(\lfloor C_i \rfloor\) à chacun ; le reste est la somme des parties fractionnaires, qui est un entier.
2021 A2 : si \(x + y\) est entier, alors \(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \geq x + y - 1\), avec égalité si et seulement si \(x\) et \(y\) ne sont pas entiers.
2016 A5 : on écrit \(n = r^2 + s\) avec \(r = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\) et \(0 \leq s \leq 2r\).
2024 A4 : la construction repose sur \(\lfloor \alpha(x + y) \rfloor - \lfloor \alpha x \rfloor - \lfloor \alpha y \rfloor \in \{0, 1\}\).
2025 A7 : l'identité \(\left\lfloor x + \frac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor\) (Hermite pour \(n = 2\)) rend une somme télescopique.
2023 N3 : la formule de Legendre donne \(v_5(n!) = \frac{n - 1}{4}\) exactement quand \(n\) est une puissance de \(5\).

Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 1 (M. Aassila), chapitre 7 : p. 497 à 502 (définitions et propriétés), p. 503 (identité de Hermite), p. 504 à 506 (formule de Legendre et applications), p. 507 à 510 (exemples).

Problèmes de la shortlist¶

27 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,2) · dont 4 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 3 · 2 ★ : 8 · 3 ★ : 3 · 4 ★ : 7 · 5 ★ : 6

Problème	Difficulté	Concepts
2024 A1 · OIM P1	★☆☆☆☆	Récurrence et constructions récursives · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2023 A1	★☆☆☆☆	AM-GM et moyennes
2021 A2	★☆☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2024 A4	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal
2023 N3	★★☆☆☆	Valuations p-adiques et lemme LTE · Ordre d'un élément et racines primitives
2021 A3	★★☆☆☆	Récurrence et constructions récursives · Sommes, télescopage et transformation d'Abel
2018 A3	★★☆☆☆	-
2013 A3 · OIM P5	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité
2010 A1 · OIM P1	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité
2006 A1	★★☆☆☆	Suites et récurrences
2006 N3	★★☆☆☆	Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs
2024 N5	★★★☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Valuations p-adiques et lemme LTE · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2016 A5	★★★☆☆	Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2014 N4	★★★☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Valuations p-adiques et lemme LTE
2025 A7	★★★★☆	Récurrence et constructions récursives
2024 A7 · OIM P6	★★★★☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Principe extrémal
2022 A6	★★★★☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité
2019 N6	★★★★☆	AM-GM et moyennes · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2018 A6	★★★★☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation
2014 A5	★★★★☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation
2013 N6	★★★★☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Principe extrémal
2023 A7	★★★★★	Récurrence et constructions récursives
2022 C9	★★★★★	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Bijections et dénombrement
2019 N8	★★★★★	Principe extrémal · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Descente infinie et Vieta jumping
2017 N8	★★★★★	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Résidus quadratiques
2014 N8	★★★★★	Valuations p-adiques et lemme LTE · Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs
2013 N7	★★★★★	Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs · Récurrence et constructions récursives · Bijections et dénombrement