Shortlist 2014
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Les problèmes de l'OIM 2014
Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2014, choisis dans cette shortlist.
| OIM |
Problème |
Difficulté |
Concepts |
| P1 |
A1 |
★☆☆☆☆ |
Suites et récurrences · Principe extrémal |
| P2 |
C3 |
★★☆☆☆ |
Principe des tiroirs · Récurrence et constructions récursives |
| P3 |
G5 |
★★★☆☆ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Centres du triangle et lemmes classiques |
| P4 |
G1 |
★☆☆☆☆ |
Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| P5 |
N3 |
★★☆☆☆ |
Principe des tiroirs · Récurrence et constructions récursives |
| P6 |
C5 |
★★★☆☆ |
Principe extrémal · Double comptage · Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau |
Algèbre
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2014 A1 · OIM P1 |
★☆☆☆☆ |
Suites et récurrences · Principe extrémal |
| 2014 A2 |
★★☆☆☆ |
Suites et récurrences · Invariants et monovariants |
| 2014 A3 |
★★☆☆☆ |
Principe extrémal · Récurrence et constructions récursives |
| 2014 A4 |
★★★☆☆ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Récurrence et constructions récursives |
| 2014 A5 |
★★★★☆ |
Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Partie entière et majorations |
| 2014 A6 |
★★★★★ |
Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Suites et récurrences |
Combinatoire
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2014 C1 |
★☆☆☆☆ |
Double comptage · Récurrence et constructions récursives |
| 2014 C2 |
★☆☆☆☆ |
Invariants et monovariants · AM-GM et moyennes |
| 2014 C3 · OIM P2 |
★★☆☆☆ |
Principe des tiroirs · Récurrence et constructions récursives |
| 2014 C4 |
★★☆☆☆ |
Coloriages et pavages · Invariants et monovariants |
| 2014 C5 · OIM P6 |
★★★☆☆ |
Principe extrémal · Double comptage · Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau |
| 2014 C6 |
★★★★☆ |
Principe extrémal · Récurrence et constructions récursives |
| 2014 C7 |
★★★★☆ |
Invariants et monovariants · Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Double comptage |
| 2014 C8 |
★★★★☆ |
Jeux et stratégies gagnantes · Bijections et dénombrement · Invariants et monovariants |
| 2014 C9 |
★★★★★ |
Invariants et monovariants · Graphes : degrés, chemins, arbres · Double comptage |
Géométrie
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2014 G1 · OIM P4 |
★☆☆☆☆ |
Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2014 G2 |
★★☆☆☆ |
Ceva et Ménélaüs · Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2014 G3 |
★★☆☆☆ |
Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2014 G4 |
★★★☆☆ |
Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Inversion |
| 2014 G5 · OIM P3 |
★★★☆☆ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2014 G6 |
★★★★☆ |
Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Coordonnées et nombres complexes · Ceva et Ménélaüs |
| 2014 G7 |
★★★★★ |
Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
Théorie des nombres
| Problème |
Difficulté |
Concepts |
| 2014 N1 |
★★☆☆☆ |
Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2014 N2 |
★☆☆☆☆ |
Équations diophantiennes : factorisation et encadrement |
| 2014 N3 · OIM P5 |
★★☆☆☆ |
Principe des tiroirs · Récurrence et constructions récursives |
| 2014 N4 |
★★★☆☆ |
Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Partie entière et majorations · Valuations p-adiques et lemme LTE |
| 2014 N5 |
★★★☆☆ |
Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement |
| 2014 N6 |
★★★★☆ |
Théorème des restes chinois · Double comptage · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Polynômes à coefficients entiers |
| 2014 N7 |
★★★★☆ |
Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Suites et récurrences · Valuations p-adiques et lemme LTE |
| 2014 N8 |
★★★★★ |
Valuations p-adiques et lemme LTE · Partie entière et majorations · Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs |