Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation¶
Domaine : Algèbre · Niveau : débutant · Prérequis : aucun
L'idée¶
Un polynôme est entièrement contrôlé par ses racines et son coefficient dominant. Quatre faits font presque tout le travail.
- Racine et facteur. \(a\) est racine de \(P\) si et seulement si \((x - a)\) divise \(P\). En effet, la division euclidienne donne \(P(x) = (x - a)Q(x) + P(a)\).
- Nombre de racines. Un polynôme non nul de degré \(n\) a au plus \(n\) racines. Conséquence : un polynôme de degré au plus \(n\) qui s'annule en \(n + 1\) points est le polynôme nul, et deux polynômes de degré au plus \(n\) égaux en \(n + 1\) points sont égaux.
- Factorisation. Si \(P\) est de degré \(n\), de coefficient dominant \(c\), et a \(n\) racines \(r_1, \ldots, r_n\) (comptées avec multiplicité), alors \(P(x) = c\,(x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n)\).
- Racines multiples. \(a\) est racine au moins double de \(P\) si et seulement si \(P(a) = P'(a) = 0\).
Les relations de Viète¶
En développant \(c\,(x - r_1)\cdots(x - r_n)\) et en identifiant avec \(P(x) = c\,x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\) :
Les cas les plus utilisés :
| Degré | Polynôme unitaire | Relations |
|---|---|---|
| 2 | \(x^2 - s\,x + p\) | \(u + v = s\), \(uv = p\) |
| 3 | \(x^3 - e_1 x^2 + e_2 x - e_3\) | \(a + b + c = e_1\), \(ab + bc + ca = e_2\), \(abc = e_3\) |
Réciproquement, deux nombres de somme \(s\) et de produit \(p\) sont les racines de \(t^2 - st + p\). Toute expression symétrique des racines s'exprime avec \(e_1, e_2, e_3\), par exemple \(a^2 + b^2 + c^2 = e_1^2 - 2e_2\).
L'interpolation de Lagrange¶
Par \(n + 1\) points d'abscisses distinctes \(x_0, \ldots, x_n\) passe un unique polynôme de degré au plus \(n\) :
Chaque produit vaut \(1\) en \(x_i\) et \(0\) aux autres nœuds. L'unicité vient du fait 2.
Exemple résolu¶
Problème
Soit \(P\) un polynôme de degré \(n\) tel que \(P(k) = \dfrac{k}{k + 1}\) pour \(k = 0, 1, \ldots, n\). Calculer \(P(n + 1)\).
Étape 1 : fabriquer un polynôme dont on connaît les racines. Les valeurs \(\frac{k}{k+1}\) ne sont pas celles d'un polynôme simple, mais la condition s'écrit \((k + 1)P(k) - k = 0\). On pose donc
C'est un polynôme de degré \(n + 1\) qui s'annule en \(0, 1, \ldots, n\).
Étape 2 : factoriser. \(Q\) a \(n + 1\) racines connues et il est de degré \(n + 1\), donc \(Q(x) = c\,x(x - 1)\cdots(x - n)\) pour une constante \(c\).
Étape 3 : trouver la constante. On évalue en un point où \(P\) disparaît : en \(x = -1\), \(Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1\). Donc
Étape 4 : conclure. En \(x = n + 1\) : \((n + 2)P(n + 1) - (n + 1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1}\), d'où
On vérifie sur \(n = 1\) : \(P(x) = \frac{x}{2}\) et \(P(2) = 1\).
Le réflexe : quand un polynôme prend des valeurs imposées en beaucoup de points, on transforme la condition en « un autre polynôme s'annule en ces points », puis on factorise.
Comment le reconnaître¶
- Un polynôme prend des valeurs données en beaucoup de points, ou deux polynômes coïncident en beaucoup de points.
- On demande une expression symétrique des racines (\(a^2 + b^2 + c^2\), \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)) sans pouvoir calculer les racines.
- Deux inconnues ne sont connues que par leur somme et leur produit.
- Il faut montrer qu'un polynôme est nul, ou qu'il a assez de racines (changements de signe, théorème des valeurs intermédiaires).
- Un polynôme en plusieurs variables s'annule quand \(x = y\) : il est divisible par \(x - y\).
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Valeurs imposées \(P(k)\) en \(n + 1\) points | Polynôme auxiliaire qui s'annule en ces points, puis factorisation (exemple résolu) |
| Expression symétrique des racines | Viète, puis \(a^2 + b^2 + c^2 = e_1^2 - 2e_2\), \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{e_2}{e_3}\) |
| Puissances d'une racine \(r\) | Réduire avec \(P(r) = 0\) : si \(r^3 = r + 1\), alors \(r^4 = r^2 + r\), etc. |
| Somme \(s\) et produit \(p\) connus | Les deux nombres sont racines de \(t^2 - st + p\) |
| Montrer que \(P = 0\) ou \(P = Q\) | Trouver plus de racines que le degré |
| Montrer qu'il y a des racines | Changements de signe et valeurs intermédiaires |
| Valeurs en des points quelconques | Interpolation de Lagrange ; lire un coefficient de la formule |
Exercices d'échauffement¶
- Soient \(u, v\) les racines de \(x^2 - 5x + 3\). Calculer \(u^2 + v^2\) et \(\frac{1}{u} + \frac{1}{v}\) sans calculer \(u\) et \(v\).
- Soient \(a, b, c\) les racines de \(x^3 - 2x^2 + 3x - 4\). Calculer \(a^2 + b^2 + c^2\). Que peut-on en déduire sur les racines ?
- Trouver tous les réels \(x, y\) tels que \(x + y = 5\) et \(xy = 6\).
- Trouver le reste de la division de \(x^{100}\) par \((x - 1)(x - 2)\).
- Soit \(P\) un polynôme tel que \(P(x + 1) = P(x)\) pour tout réel \(x\). Montrer que \(P\) est constant. Indication : \(P(x) - P(0)\).
Polynômes dans la shortlist¶
- 2025 A1 : si \(x^2 + sx + t = 0\) a pour racines \(u, v\), alors \(s = -(u + v)\) et \(t = uv\) ; tout le jeu se lit sur la somme et le produit.
- 2020 A2 : \(x\) est racine de \((t - x)(t - y)(t - z) = t^3 - pt^2 + qt - r\), ce qui exprime \(x^3\) à l'aide des fonctions symétriques élémentaires.
- 2020 A5 : par les valeurs intermédiaires, \(P\) a une racine dans chaque intervalle \([x_{2i-1}, x_{2i}]\), donc \(n\) racines.
- 2017 A2, solution 2 : un polynôme nul en tout point est le polynôme nul, et l'on identifie un coefficient.
- 2019 A5, solution 1 : interpolation de Lagrange aux \(n + 2\) nœuds \(1, -1, x_1, \ldots, x_n\), puis lecture du coefficient de \(t^{n+1}\), qui est nul.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 1 (M. Aassila), p. 364 et 365 (racines, multiplicité, division euclidienne), p. 371 (formules de Viète et polynômes symétriques élémentaires), p. 374 (racines multiples et dérivée), p. 376 (interpolation de Lagrange), p. 377 (méthodes pour trouver les racines), p. 389 à 409 (degrés 2, 3 et 4), p. 414 (polynômes en plusieurs variables), p. 303 (somme et produit). Le saut de Viète (p. 417) est traité dans Descente infinie et Vieta jumping, et les racines rationnelles et le critère d'Eisenstein dans Polynômes à coefficients entiers.
Problèmes de la shortlist¶
27 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,1) · dont 6 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 5 · 2 ★ : 3 · 3 ★ : 6 · 4 ★ : 9 · 5 ★ : 4
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2025 A1 | ★☆☆☆☆ | Invariants et monovariants |
| 2020 A2 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2017 A1 | ★☆☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2017 A2 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2013 A1 | ★☆☆☆☆ | Suites et récurrences · Bijections et dénombrement |
| 2011 A2 | ★★☆☆☆ | Suites et récurrences |
| 2011 A3 | ★★☆☆☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2008 A2 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Équations diophantiennes : factorisation et encadrement |
| 2025 A5 | ★★★☆☆ | Polynômes à coefficients entiers |
| 2022 A5 | ★★★☆☆ | Principe extrémal |
| 2020 A5 | ★★★☆☆ | - |
| 2019 A5 | ★★★☆☆ | - |
| 2012 A4 | ★★★☆☆ | Polynômes à coefficients entiers · Principe des tiroirs |
| 2006 A6 · OIM P3 | ★★★☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2023 A6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Principe extrémal · Principe des tiroirs · Polynômes à coefficients entiers · Descente infinie et Vieta jumping |
| 2022 N7 · OIM P3 | ★★★★☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Récurrence et constructions récursives |
| 2019 A6 | ★★★★☆ | - |
| 2018 A6 | ★★★★☆ | Partie entière et majorations |
| 2016 A6 · OIM P5 | ★★★★☆ | - |
| 2014 A5 | ★★★★☆ | Partie entière et majorations |
| 2013 A6 | ★★★★☆ | Polynômes à coefficients entiers |
| 2012 A7 | ★★★★☆ | Principe extrémal |
| 2007 A7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Récurrence et constructions récursives |
| 2025 A8 | ★★★★★ | Jeux et stratégies gagnantes · AM-GM et moyennes |
| 2016 N8 | ★★★★★ | Principe des tiroirs · Polynômes à coefficients entiers · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme |
| 2015 A6 | ★★★★★ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel |
| 2010 A8 | ★★★★★ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · AM-GM et moyennes |