AM-GM et moyennes¶
Domaine : Algèbre · Niveau : débutant · Prérequis : aucun
L'idée¶
Pour des réels positifs \(x_1, \ldots, x_n\), la moyenne arithmétique est toujours au moins égale à la moyenne géométrique :
avec égalité si et seulement si \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\).
Autrement dit, à somme fixée, le produit est maximal quand tous les termes sont égaux ; à produit fixé, la somme est minimale dans le même cas. Toute la difficulté est de choisir les termes pour que le cas d'égalité tombe au bon endroit.
Pourquoi. Pour deux termes, c'est un carré :
Pour \(n\) termes, une preuve courte est le lissage : si les \(x_i\) ne sont pas tous égaux à leur moyenne \(A\), il y en a un plus petit que \(A\) et un plus grand. Sans perte de généralité, supposons \(x_1< A< x_n\). On remplace le premier par \(A\) et le second par la somme des deux moins \(A\). La somme ne change pas, le produit augmente strictement, et un terme de plus vaut \(A\) :
Après au plus \(n\) étapes, tous les termes valent \(A\) et le produit vaut \(A^n\).
La chaîne des moyennes¶
Pour des réels strictement positifs, avec égalité dans chaque cas si et seulement si tous les \(x_i\) sont égaux :
L'inégalité arithmético-harmonique s'écrit souvent sous la forme
La version pondérée¶
Si \(w_1, \ldots, w_n \geq 0\) sont des poids de somme \(1\), alors pour des réels positifs :
Avec des poids rationnels, c'est AM-GM ordinaire où chaque \(x_i\) est répété plusieurs fois ; dans le cas général, c'est la concavité du logarithme (voir Convexité, Jensen).
Exemple résolu¶
Problème
Trouver la valeur maximale de \(x^2(1 - x)\) pour \(x \in [0, 1]\).
Étape 1 : viser une somme constante. AM-GM majore un produit par une somme. Avec les trois facteurs \(x\), \(x\) et \(1 - x\), la somme \(x + x + (1 - x) = 1 + x\) dépend encore de \(x\) : ce découpage ne marche pas.
Étape 2 : rééquilibrer les facteurs. On écrit plutôt \(x^2(1 - x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot (2 - 2x)\). Les trois facteurs \(x\), \(x\), \(2 - 2x\) sont positifs et leur somme vaut \(2\), quel que soit \(x\).
Étape 3 : appliquer AM-GM.
Étape 4 : vérifier le cas d'égalité. Il faut \(x = 2 - 2x\), soit \(x = \frac{2}{3}\), qui est bien dans \([0, 1]\), et l'on a \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}\). Le maximum vaut \(\frac{4}{27}\).
Le coefficient \(2\) de l'étape 2 a été choisi pour que les trois facteurs puissent être égaux. C'est le réflexe à prendre : deviner le cas d'égalité d'abord, puis découper en conséquence.
Comment le reconnaître¶
- L'énoncé lie une somme et un produit : une contrainte comme \(abc = 1\) ou \(a + b + c = 1\), ou une expression à minorer par un produit.
- On cherche le maximum d'un produit ou le minimum d'une somme.
- Le cas d'égalité attendu est « toutes les variables égales » (par exemple \(a = b = c = 1\)), ce qu'on devine en testant des valeurs.
- Des termes comme \(x + \frac{1}{x}\), \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) ou \((x_1 + \cdots + x_n)\left(\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}\right)\) apparaissent.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Le cas d'égalité n'a pas tous les termes égaux | Multiplier ou diviser les termes par des constantes pour qu'ils soient égaux à l'égalité (exemple résolu) |
| Inégalité cyclique comme \(a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2b + b^2c + c^2a\) | Pondérer : \(a^3 + a^3 + b^3 \geq 3a^2b\), puis sommer les trois inégalités du même type |
| Contrainte \(abc = 1\) | AM-GM fait apparaître \(\sqrt[3]{abc} = 1\) ; ou poser \(a = \frac{x}{y}\), \(b = \frac{y}{z}\), \(c = \frac{z}{x}\) |
| Inégalité non homogène sous une contrainte | Homogénéiser : remplacer les constantes grâce à la contrainte (par exemple \(1 = a + b + c\)) pour que tous les termes aient le même degré |
| Exposants réels ou produits \(x^a y^b\) | AM-GM pondérée |
Exercices d'échauffement¶
- Montrer que pour tout \(x > 0\), \(x + \frac{1}{x} \geq 2\). Quand y a-t-il égalité ?
- Montrer que pour \(a, b, c > 0\), \((a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc\).
- Soient \(a, b, c > 0\) avec \(abc = 1\). Montrer que \(a + b + c \geq 3\), puis que \((1 + a)(1 + b)(1 + c) \geq 8\).
- Montrer que \(x^3 + 2 \geq 3x\) pour tout \(x \geq 0\). Indication : \(x^3 + 1 + 1\).
- Soient \(x, y, z > 0\) avec \(x + y + z = 1\). Trouver le maximum de \(x y^2 z^3\). Indication : découper en \(x\), \(\frac{y}{2}, \frac{y}{2}\), \(\frac{z}{3}, \frac{z}{3}, \frac{z}{3}\).
AM-GM dans la shortlist¶
- 2020 A3 : AM-GM appliquée deux fois, d'abord à \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) et \(\frac{b}{c} + \frac{d}{a}\), puis à \(a + c\) et \(b + d\).
- 2020 A4, solution 1 : AM-GM pondérée avec les poids \(a, b, c, d\) donne \(a^a b^b c^c d^d \leq a^2 + b^2 + c^2 + d^2\).
- 2017 A1, solution 1 : AM-GM sur \(x + 1\) et \(a_i - 1\) copies de \(1\) donne \(a_i (x + 1)^{1/a_i} \leq x + a_i\).
- 2023 A3 : le cas d'égalité d'AM-GM ne peut pas se produire deux fois de suite, ce qui fait gagner l'unité manquante.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 2 (M. Aassila), p. 254 à 269 (inégalité arithmético-géométrique, preuve par lissage p. 258), p. 13 (preuve par la récurrence de Cauchy), p. 270 (symétrie et homogénéité), p. 285 et 286 (chaîne des moyennes), p. 296 (moyenne pondérée), p. 314 (Muirhead, qui généralise les inégalités du type « \(a^3 + a^3 + b^3 \geq 3a^2b\) »).
Pour aller plus loin : réordonnement et Tchebychev¶
Ces deux inégalités comparent des sommes de produits. Elles servent quand les termes d'une somme peuvent être rangés dans le même ordre.
Inégalité de réordonnement¶
Soient \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n\) et \(b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\) des réels, et \(\sigma\) une permutation de \(\{1, \ldots, n\}\). Alors
Autrement dit, la somme des produits est maximale quand les deux suites sont rangées dans le même ordre, et minimale quand elles sont rangées en ordre inverse.
Pourquoi. Si \(i < j\) mais \(b_{\sigma(i)} > b_{\sigma(j)}\), échangeons \(b_{\sigma(i)}\) et \(b_{\sigma(j)}\). La somme change de
Chaque échange de ce type augmente donc la somme (ou la laisse égale), et après un nombre fini d'échanges les \(b\) sont rangés dans l'ordre croissant. Pour le minimum, on applique le résultat aux \(-b_i\).
Exemple
Pour des réels positifs \(a, b, c\), montrer que \(a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2 b + b^2 c + c^2 a\).
Les suites \((a^2, b^2, c^2)\) et \((a, b, c)\) sont rangées dans le même ordre, puisque \(x \mapsto x^2\) est croissante sur les positifs. Le membre de gauche est \(a^2 \cdot a + b^2 \cdot b + c^2 \cdot c\), la somme « dans l'ordre ». Le membre de droite est \(a^2 \cdot b + b^2 \cdot c + c^2 \cdot a\), la même somme avec les facteurs \(a, b, c\) permutés. L'inégalité de réordonnement conclut.
Inégalité de Tchebychev¶
Si \(a_1 \leq \cdots \leq a_n\) et \(b_1 \leq \cdots \leq b_n\) (même ordre), alors
L'inégalité change de sens si les suites sont rangées en ordre inverse.
Pourquoi. Pour tous \(i, j\), les nombres \(a_i - a_j\) et \(b_i - b_j\) ont le même signe, donc \((a_i - a_j)(b_i - b_j) \geq 0\). En sommant sur tous les couples \((i, j)\) :
Exemple : l'inégalité de Nesbitt
Pour des réels strictement positifs \(a, b, c\), montrer que \(\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}\).
Posons \(S = a + b + c\) et supposons \(a \leq b \leq c\). Alors \(b + c \geq c + a \geq a + b\), donc les suites \((a, b, c)\) et \(\left(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}\right)\) sont rangées dans le même ordre. Par Tchebychev,
Par l'inégalité entre moyennes arithmétique et harmonique, la parenthèse vaut au moins \(\dfrac{9}{(b+c) + (c+a) + (a+b)} = \dfrac{9}{2S}\). Le membre de droite est donc au moins \(\dfrac{S}{3} \cdot \dfrac{9}{2S} = \dfrac{3}{2}\).
Dans la shortlist¶
- 2015 A3, solution 2 : réordonnement d'une permutation de \(1, \ldots, 2n\) face à des coefficients rangés.
- 2018 A7, solution 1 : on regroupe les termes par paires et l'on applique le réordonnement.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 2 (M. Aassila), p. 277 (réordonnement) et p. 284 (Tchebychev).
Problèmes de la shortlist¶
34 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (2,6) · dont 7 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 8 · 2 ★ : 11 · 3 ★ : 4 · 4 ★ : 7 · 5 ★ : 4
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2023 A1 | ★☆☆☆☆ | Partie entière et majorations |
| 2020 A1 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2017 A1 | ★☆☆☆☆ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
| 2016 A1 | ★☆☆☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2015 A1 | ★☆☆☆☆ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Suites et récurrences |
| 2014 C2 | ★☆☆☆☆ | Invariants et monovariants |
| 2012 A3 · OIM P2 | ★☆☆☆☆ | - |
| 2010 A2 | ★☆☆☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2024 A3 | ★★☆☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2023 A3 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2022 A3 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2021 G3 | ★★☆☆☆ | Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau |
| 2020 A3 | ★★☆☆☆ | - |
| 2020 A4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2012 C3 | ★★☆☆☆ | Double comptage · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2010 A3 | ★★☆☆☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2009 A2 | ★★☆☆☆ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2009 A4 | ★★☆☆☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2008 A5 | ★★☆☆☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2024 A5 | ★★★☆☆ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Suites et récurrences · Principe extrémal |
| 2021 N5 | ★★★☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2015 C5 · OIM P6 | ★★★☆☆ | Graphes : degrés, chemins, arbres · Principe des tiroirs · Double comptage |
| 2006 A6 · OIM P3 | ★★★☆☆ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
| 2021 A7 | ★★★★☆ | Suites et récurrences · Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2020 N6 | ★★★★☆ | Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs |
| 2019 N6 | ★★★★☆ | Partie entière et majorations · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement |
| 2011 A7 | ★★★★☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2009 G5 | ★★★★☆ | Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Principe extrémal |
| 2008 A7 | ★★★★☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2007 A6 | ★★★★☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2025 A8 | ★★★★★ | Jeux et stratégies gagnantes · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation |
| 2025 C8 · OIM P6 | ★★★★★ | Coloriages et pavages · Principe extrémal · Double comptage · Graphes : degrés, chemins, arbres |
| 2018 A7 | ★★★★★ | Convexité, inégalité de Jensen, lissage |
| 2010 A8 | ★★★★★ | Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |