Shortlist 2007¶

Les problèmes de l'OIM 2007¶

Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2007, choisis dans cette shortlist.

OIM	Problème	Difficulté	Concepts
P1	A1	★★☆☆☆	Principe extrémal · Suites et récurrences
P2	G4	★★☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
P3	C6	★★★★☆	Graphes : degrés, chemins, arbres · Invariants et monovariants
P4	G1	★☆☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
P5	N6	★★★☆☆	Descente infinie et Vieta jumping · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
P6	A7	★★★★☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Récurrence et constructions récursives

Problème	Difficulté	Concepts
2007 A1 · OIM P1	★★☆☆☆	Principe extrémal · Suites et récurrences
2007 A2	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Principe extrémal
2007 A3	★★☆☆☆	Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Convexité, inégalité de Jensen, lissage
2007 A4	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité
2007 A5	★★★★☆	Suites et récurrences · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu
2007 A6	★★★★☆	Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · AM-GM et moyennes
2007 A7 · OIM P6	★★★★☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Récurrence et constructions récursives

Problème	Difficulté	Concepts
2007 C1	★★☆☆☆	Principe des tiroirs · Récurrence et constructions récursives
2007 C2	★★☆☆☆	Principe extrémal · Coloriages et pavages
2007 C3	★★★☆☆	Double comptage · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2007 C4	★★★☆☆	Invariants et monovariants · Principe des tiroirs
2007 C5	★★★☆☆	Coloriages et pavages · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2007 C6 · OIM P3	★★★★☆	Graphes : degrés, chemins, arbres · Invariants et monovariants
2007 C7	★★★★☆	Bijections et dénombrement · Récurrence et constructions récursives
2007 C8	★★★★☆	Double comptage · Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau

Problème	Difficulté	Concepts
2007 G1 · OIM P4	★☆☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2007 G2	★★☆☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques
2007 G3	★★☆☆☆	Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2007 G4 · OIM P2	★★☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2007 G5	★★★☆☆	Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Triangles semblables et similitudes
2007 G6	★★★★☆	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Triangles semblables et similitudes
2007 G7	★★★★☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical
2007 G8	★★★★☆	Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires

Problème	Difficulté	Concepts
2007 N1	★★☆☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2007 N2	★★☆☆☆	Valuations p-adiques et lemme LTE · Résidus quadratiques
2007 N3	★★★☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Principe des tiroirs · Double comptage
2007 N4	★★★☆☆	Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2007 N5	★★★☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité
2007 N6 · OIM P5	★★★☆☆	Descente infinie et Vieta jumping · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2007 N7	★★★★☆	Valuations p-adiques et lemme LTE · Principe des tiroirs