Shortlist 2009¶

Les problèmes de l'OIM 2009¶

Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2009, choisis dans cette shortlist.

OIM	Problème	Difficulté	Concepts
P1	N1	★★☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Théorème des restes chinois · Graphes : degrés, chemins, arbres
P2	G2	★★☆☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Coordonnées et nombres complexes
P3	A6	★★★☆☆	Suites et récurrences · Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Principe extrémal
P4	G1	★★☆☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
P5	A3	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Principe extrémal
P6	C7	★★★★★	Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal · Principe des tiroirs

Problème	Difficulté	Concepts
2009 A1	★☆☆☆☆	Principe extrémal · Récurrence et constructions récursives
2009 A2	★★☆☆☆	AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage
2009 A3 · OIM P5	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Principe extrémal
2009 A4	★★☆☆☆	AM-GM et moyennes · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu
2009 A5	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Suites et récurrences
2009 A6 · OIM P3	★★★☆☆	Suites et récurrences · Sommes, télescopage et transformation d'Abel · Principe extrémal
2009 A7	★★★★☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité

Problème	Difficulté	Concepts
2009 C1	★☆☆☆☆	Jeux et stratégies gagnantes · Invariants et monovariants
2009 C2	★★☆☆☆	Double comptage · Récurrence et constructions récursives
2009 C3	★★★☆☆	Récurrence et constructions récursives · Suites et récurrences
2009 C4	★★★☆☆	Coloriages et pavages · Convexité, inégalité de Jensen, lissage · Double comptage
2009 C5	★★★☆☆	Jeux et stratégies gagnantes · Invariants et monovariants
2009 C6	★★★★☆	Coloriages et pavages · Récurrence et constructions récursives
2009 C7 · OIM P6	★★★★★	Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal · Principe des tiroirs
2009 C8	★★★★★	Invariants et monovariants · Récurrence et constructions récursives · Principe extrémal

Problème	Difficulté	Concepts
2009 G1 · OIM P4	★★☆☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2009 G2 · OIM P2	★★☆☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes · Coordonnées et nombres complexes
2009 G3	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Ceva et Ménélaüs · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2009 G4	★★★☆☆	Homothétie · Triangles semblables et similitudes · Coordonnées et nombres complexes
2009 G5	★★★★☆	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Principe extrémal · AM-GM et moyennes
2009 G6	★★★★☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2009 G7	★★★★☆	Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Centres du triangle et lemmes classiques
2009 G8	★★★★★	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques

Problème	Difficulté	Concepts
2009 N1 · OIM P1	★★☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Théorème des restes chinois · Graphes : degrés, chemins, arbres
2009 N2	★★☆☆☆	Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Principe des tiroirs
2009 N3	★★★☆☆	Valuations p-adiques et lemme LTE · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2009 N4	★★★☆☆	Descente infinie et Vieta jumping · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2009 N5	★★★★☆	Polynômes à coefficients entiers · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Double comptage
2009 N6	★★★★☆	Polynômes à coefficients entiers · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Suites et récurrences
2009 N7	★★★★★	Suites et récurrences · Résidus quadratiques · Valuations p-adiques et lemme LTE