Descente infinie et Vieta jumping¶
Domaine : Théorie des nombres · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Principe extrémal, Polynômes : Viète
L'idée¶
Il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs. Pour montrer qu'une équation n'a pas de solution, on suppose qu'elle en a une et l'on en fabrique une plus petite. En répétant, on obtiendrait une suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs, ce qui est absurde.
En pratique, on rédige souvent avec une solution minimale : on prend la solution où un entier positif bien choisi (une variable, une somme \(a + b\), …) est le plus petit possible, puis on construit une solution encore plus petite. C'est une contradiction directe, sans parler de suite.
Exemple : \(\sqrt{2}\) est irrationnel
Supposons \(a^2 = 2b^2\) avec \(a, b\) entiers strictement positifs. Alors \(a^2\) est pair, donc \(a\) est pair : \(a = 2a'\). On obtient \(b^2 = 2a'^2\), donc \((b, a')\) est une nouvelle solution, et \(b < a\). On fabrique ainsi des solutions de plus en plus petites : contradiction.
Vieta jumping : la descente par les relations de Viète¶
Le Vieta jumping (« saut de racine ») est une descente infinie spécialisée. On regarde l'équation comme une équation du second degré en une variable. Si \(x = a\) est une racine, les relations de Viète donnent l'autre racine \(a'\) sans résoudre l'équation, et \(a'\) fournit une nouvelle solution. Il reste à montrer que \(a'\) est un entier positif plus petit que \(a\).
Exemple classique (OIM 1988)
Soient \(a, b\) des entiers strictement positifs tels que \(k = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}\) soit un entier. Montrer que \(k\) est un carré parfait.
Supposons que \(k\) ne soit pas un carré, et prenons une solution \((a, b)\) avec \(a + b\) minimal et \(a \geq b\). Alors \(a\) est racine de
L'autre racine est \(a' = kb - a = \dfrac{b^2 - k}{a}\) (relations de Viète). La première expression montre que \(a'\) est un entier.
- \(a' \neq 0\), sinon \(k = b^2\) serait un carré.
- \(a' > 0\) : si \(a' < 0\), alors \(a'^2 - kba' + b^2 - k \geq 1 + k + b^2 - k > 0\), donc \(a'\) ne serait pas racine.
- \(a' < a\) : en effet \(a' = \dfrac{b^2 - k}{a} < \dfrac{b^2}{a} \leq a\).
Donc \((a', b)\) est une solution avec \(a' + b < a + b\), ce qui contredit la minimalité.
Exemple résolu¶
Problème
Trouver tous les entiers \(x, y, z\) tels que \(x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 0\).
Étape 1 : deviner. \((0, 0, 0)\) est solution. On va montrer que c'est la seule, en supposant qu'il existe une solution non nulle et en choisissant celle qui minimise \(\lvert x \rvert + \lvert y \rvert + \lvert z \rvert\).
Étape 2 : extraire un facteur \(2\). On a \(x^3 = -2y^3 - 4z^3\), qui est pair, donc \(x\) est pair : \(x = 2x_1\). En remplaçant et en divisant par \(2\) :
Étape 3 : reconnaître la même équation. C'est l'équation de départ pour le triplet \((y, z, x_1)\), qui est encore non nul. Si \(x \neq 0\), on a \(\lvert x_1 \rvert = \frac{\lvert x \rvert}{2} < \lvert x \rvert\), donc
Si \(x = 0\), on applique le même raisonnement au nouveau triplet \((y, z, 0)\) : \(y\) est pair, puis \(z\) l'est. En au plus trois étapes, on obtient une solution non nulle strictement plus petite.
Conclusion. Une solution non nulle en fournirait une strictement plus petite, ce qui contredit la minimalité. La seule solution est \((0, 0, 0)\).
Le réflexe : une équation homogène dont un premier divise toutes les variables se reproduit après division, avec des valeurs plus petites. Au passage, cela montre que \(\sqrt[3]{2}\) est irrationnel.
Comment le reconnaître¶
- On doit montrer qu'une équation en entiers n'a pas de solution, ou que ses solutions ont une forme imposée.
- Une suite d'entiers positifs semble décroître (2025 N3, 2023 A6).
- L'équation est du second degré et symétrique en deux variables : c'est le terrain du Vieta jumping (2016 N5, 2017 N6, 2019 N8). Le même saut de racine sert aussi à construire une infinité de solutions en montant au lieu de descendre (2017 N6).
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Équation homogène, un premier divise toutes les variables | Diviser par ce premier : on obtient une solution plus petite (exemple résolu) |
| Équation du second degré symétrique en deux variables | Vieta jumping : remplacer une racine par l'autre, \(a' = s - a = \frac{p}{a}\) |
| Suite d'entiers positifs | Si elle décroît strictement, elle est finie ; si elle décroît au sens large, elle est stationnaire |
| Montrer que les solutions ont une forme imposée | Prendre un contre-exemple minimal et en fabriquer un plus petit |
| Une valuation \(v_p\) diminue à chaque étape | Descente sur la valuation |
| Construire une infinité de solutions | Faire le saut de Viète vers le haut à partir d'une petite solution |
Exercices d'échauffement¶
- Montrer que \(\sqrt{3}\) est irrationnel par descente infinie.
- Montrer que \(x^3 + 3y^3 + 9z^3 = 0\) n'a pas d'autre solution entière que \((0, 0, 0)\).
- Montrer que l'équation \(x^2 + y^2 = 3z^2\) n'a pas d'autre solution entière que \((0, 0, 0)\). Indication : voir Résidus quadratiques pour montrer que \(3\) divise \(x\) et \(y\).
- Montrer que l'équation \(a^2 + b^2 + 1 = 3ab\) a une infinité de solutions en entiers strictement positifs. Indication : partir de \((1, 1)\) et sauter vers le haut.
- Soient \(a, b\) des entiers strictement positifs avec \(ab > 1\), tels que \(\frac{a^2 + b^2}{ab - 1}\) soit un entier. Montrer que cet entier vaut \(5\). Indication : Vieta jumping, comme pour l'exemple de 1988.
Descente infinie dans la shortlist¶
- 2025 N3 : si un terme est impair, ou non divisible par \(3\), la suite décroît strictement à partir de là, ce qui est impossible.
- 2015 N1, solution 1 : la valuation \(2\)-adique de \(b_k - 3\) diminue de \(1\) à chaque pas.
- 2019 N8, solution 2 : la seconde racine \(z = (b + 2)y - x = \frac{y^2 + d}{x}\) donne une solution positive plus petite.
- 2016 N5 : après le changement \(u = x + y\), \(v = x - y\), l'équation devient du second degré symétrique, et l'on saute d'une racine à l'autre.
- 2017 N6 : le saut de racine, fait vers le haut, fournit une infinité de solutions.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 5 (M. Aassila), p. 361 à 363 (méthode de la descente infinie pour les équations diophantiennes), p. 313 à 316 (saut de Viète) ; tome 1, p. 417 à 423 (saut de Viète, avec l'exemple de 1988) ; tome 2, p. 21 à 24 (descente infinie dans le chapitre sur le raisonnement).
Problèmes de la shortlist¶
9 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,1) · dont 3 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 1 · 2 ★ : 1 · 3 ★ : 4 · 4 ★ : 2 · 5 ★ : 1
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2015 N1 | ★☆☆☆☆ | Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2025 N3 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Valuations p-adiques et lemme LTE · Invariants et monovariants |
| 2016 N5 | ★★★☆☆ | Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Principe extrémal |
| 2010 N3 | ★★★☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2009 N4 | ★★★☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement |
| 2007 N6 · OIM P5 | ★★★☆☆ | Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2023 A6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Principe extrémal · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Principe des tiroirs · Polynômes à coefficients entiers |
| 2017 N6 | ★★★★☆ | Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide |
| 2019 N8 | ★★★★★ | Principe extrémal · Partie entière et majorations · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement |