Shortlist 2012¶

Les problèmes de l'OIM 2012¶

Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2012, choisis dans cette shortlist.

OIM	Problème	Difficulté	Concepts
P1	G1	★☆☆☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques
P2	A3	★☆☆☆☆	AM-GM et moyennes
P3	C6	★★★★☆	Jeux et stratégies gagnantes · Invariants et monovariants · Bijections et dénombrement
P4	A1	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Récurrence et constructions récursives
P5	G5	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical
P6	N7	★★★★☆	Récurrence et constructions récursives · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler

Problème	Difficulté	Concepts
2012 A1 · OIM P4	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Récurrence et constructions récursives
2012 A2	★★☆☆☆	Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Invariants et monovariants
2012 A3 · OIM P2	★☆☆☆☆	AM-GM et moyennes
2012 A4	★★★☆☆	Polynômes à coefficients entiers · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Principe des tiroirs
2012 A5	★★★☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité
2012 A6	★★★★☆	Suites et récurrences · Principe extrémal · Principe des tiroirs
2012 A7	★★★★☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Principe extrémal

Problème	Difficulté	Concepts
2012 C1	★☆☆☆☆	Invariants et monovariants
2012 C2	★☆☆☆☆	Double comptage · Récurrence et constructions récursives
2012 C3	★★☆☆☆	Double comptage · AM-GM et moyennes · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu
2012 C4	★★★☆☆	Jeux et stratégies gagnantes · Invariants et monovariants · Principe extrémal
2012 C5	★★★☆☆	Graphes : degrés, chemins, arbres · Coloriages et pavages · Double comptage
2012 C6 · OIM P3	★★★★☆	Jeux et stratégies gagnantes · Invariants et monovariants · Bijections et dénombrement
2012 C7	★★★★★	Graphes : degrés, chemins, arbres · Principe des tiroirs · Récurrence et constructions récursives

Problème	Difficulté	Concepts
2012 G1 · OIM P1	★☆☆☆☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques
2012 G2	★☆☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2012 G3	★★☆☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
2012 G4	★★☆☆☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical
2012 G5 · OIM P5	★★★☆☆	Puissance d'un point et axe radical
2012 G6	★★★★☆	Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2012 G7	★★★★☆	Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Homothétie · Centres du triangle et lemmes classiques
2012 G8	★★★★★	Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs · Inversion

Problème	Difficulté	Concepts
2012 N1	★☆☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2012 N2	★★☆☆☆	Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Valuations p-adiques et lemme LTE
2012 N3	★★☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Bijections et dénombrement
2012 N4	★★☆☆☆	Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2012 N5	★★★☆☆	Polynômes à coefficients entiers · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme
2012 N6	★★★★☆	Ordre d'un élément et racines primitives · Résidus quadratiques · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme · Théorème des restes chinois
2012 N7 · OIM P6	★★★★☆	Récurrence et constructions récursives · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2012 N8	★★★★★	Double comptage · Ordre d'un élément et racines primitives · Résidus quadratiques · Cauchy-Schwarz et lemme de Titu