Homothétie¶
Domaine : Géométrie · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Triangles semblables
L'idée¶
L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k \neq 0\) envoie chaque point \(M\) sur le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'} = k \, \overrightarrow{OM}\). Pour \(k > 0\), \(M'\) est du même côté que \(M\) ; pour \(k < 0\), de l'autre côté de \(O\) ; pour \(k = -1\), c'est la symétrie de centre \(O\).
Ce qu'elle préserve est exactement ce dont on a besoin :
- une droite est envoyée sur une droite parallèle ;
- un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est envoyé sur le cercle de centre \(C'\) et de rayon \(\lvert k \rvert r\) ;
- les angles, les contacts (tangences) et les rapports de longueurs sont conservés ;
- les longueurs sont multipliées par \(\lvert k \rvert\), les aires par \(k^2\).
Un point, son image et le centre sont alignés. C'est la source principale d'alignements et de concours en géométrie.
Reconnaître une homothétie¶
Deux faits clés
- Triangles à côtés parallèles. Si deux triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) ont leurs côtés deux à deux parallèles (\(AB \parallel A'B'\), etc.) et ne sont pas translatés l'un de l'autre, alors les droites \((AA')\), \((BB')\), \((CC')\) sont concourantes, au centre d'une homothétie qui envoie l'un sur l'autre.
- Deux cercles. Deux cercles de rayons différents sont images l'un de l'autre par deux homothéties : une de rapport positif (centre externe) et une de rapport négatif (centre interne). Les tangentes communes extérieures passent par le centre externe, les tangentes communes intérieures par le centre interne. Si les cercles sont tangents, le point de contact est l'un des deux centres.
Le théorème de Monge. Pour trois cercles de rayons distincts, les trois centres d'homothétie externes (pris deux à deux) sont alignés. De même, deux centres internes et le centre externe restant sont alignés.
Homothéties et cercles¶
Deux cercles de centres \(O_1 \neq O_2\) et de rayons \(r_1 \neq r_2\) sont images l'un de l'autre par deux homothéties :
- l'homothétie de rapport \(\frac{r_2}{r_1}\), dont le centre \(X_e\) (centre externe) est l'intersection des tangentes communes extérieures ;
- l'homothétie de rapport \(-\frac{r_2}{r_1}\), dont le centre \(X_i\) (centre interne) est l'intersection des tangentes communes intérieures.
Les deux centres partagent \([O_1 O_2]\) dans le rapport \(\frac{r_1}{r_2}\), l'un intérieurement, l'autre extérieurement : \((O_1, O_2; X_i, X_e) = -1\) (voir Outils projectifs). Quand les cercles sont tangents, le point de contact est l'un des deux centres.
Composer des homothéties¶
Composition
La composée de deux homothéties de centres \(O_1\), \(O_2\) et de rapports \(k_1\), \(k_2\) est :
- une homothétie de rapport \(k_1 k_2\), de centre aligné avec \(O_1\) et \(O_2\), si \(k_1 k_2 \neq 1\) ;
- une translation si \(k_1 k_2 = 1\).
C'est la preuve la plus rapide du théorème de Monge : pour trois cercles, les trois centres d'homothétie externes sont alignés, et deux centres internes sont alignés avec un centre externe. On compose l'homothétie qui envoie le cercle \(1\) sur le \(2\) avec celle qui envoie le \(2\) sur le \(3\).
Rotations¶
Une rotation est l'autre transformation à reconnaître. Elle préserve les longueurs, et l'angle entre une droite et son image est l'angle de la rotation. Les signaux typiques :
- un triangle équilatéral ou un carré construit sur un côté : rotation de \(60^\circ\) ou de \(90^\circ\) autour d'un sommet ;
- deux segments de même longueur dont on veut l'angle : chercher la rotation qui envoie l'un sur l'autre ;
- un problème d'extremum de somme de distances : la rotation transforme une ligne brisée en une ligne que l'on compare à un segment.
Une homothétie composée avec une rotation de même centre donne une similitude.
Exemple résolu¶
Problème (lemme d'Archimède)
Un cercle \(\omega\) est tangent intérieurement en \(T\) à un cercle \(\Gamma\), et tangent en \(K\) à une corde \([AB]\) de \(\Gamma\). Montrer que la droite \((TK)\) passe par le milieu \(M\) de l'arc \(AB\) qui ne contient pas \(T\).
Étape 1 : l'homothétie. Les cercles \(\omega\) et \(\Gamma\) sont tangents en \(T\), donc l'homothétie \(h\) de centre \(T\) et de rapport \(\frac{R}{\rho}\) (les deux rayons) envoie \(\omega\) sur \(\Gamma\). Le rapport est positif car le contact est intérieur.
Étape 2 : l'image de la corde. La droite \((AB)\) est tangente à \(\omega\) en \(K\). Son image par \(h\) est une droite parallèle à \((AB)\), tangente à \(\Gamma\) au point \(h(K)\).
Étape 3 : identifier ce point. Il y a deux tangentes à \(\Gamma\) parallèles à \((AB)\), et leurs points de contact sont les milieux des deux arcs \(AB\) (le diamètre perpendiculaire à \((AB)\) coupe \(\Gamma\) en ces deux points). Comme \(h(K)\) est sur la demi-droite \([TK)\), au-delà de \(K\) (le rapport est \(> 1\)), il est de l'autre côté de \((AB)\) par rapport à \(T\) : c'est le milieu \(M\) de l'arc qui ne contient pas \(T\).
Conclusion. \(h(K) = M\), donc \(T\), \(K\), \(M\) sont alignés.
Le réflexe : deux cercles tangents, c'est une homothétie de centre le point de contact. Les tangentes de l'un sont envoyées sur des tangentes parallèles de l'autre.
Comment le reconnaître¶
- La figure contient des droites parallèles, en particulier deux triangles à côtés parallèles.
- Deux cercles sont tangents, ou ont des tangentes communes.
- On doit montrer que trois droites sont concourantes ou que trois points sont alignés, et des milieux apparaissent.
- Le cercle inscrit et un cercle exinscrit apparaissent ensemble (centre d'homothétie \(A\)).
- Le centre de gravité, les milieux des côtés et le cercle d'Euler (homothétie de centre \(G\), rapport \(-\frac{1}{2}\)).
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Deux cercles tangents | Homothétie de centre le point de contact |
| Deux triangles à côtés parallèles | Les droites joignant les sommets correspondants concourent |
| Cercle inscrit et exinscrit en \(A\) | Homothétie de centre \(A\) ; lemme du diamètre (exercice 4) |
| Triangle et triangle des milieux | Homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\frac{1}{2}\) |
| Trois cercles et leurs tangentes communes | Théorème de Monge |
| Construire une figure inscrite dans une autre | Construire une figure semblable de taille quelconque, puis agrandir depuis un sommet |
| Deux cercles quelconques | Centres d'homothétie externe et interne, conjugués harmoniques par rapport aux centres |
| Composer deux homothéties | Rapport \(k_1 k_2\), centre aligné avec les deux centres (ou translation) |
| Triangles équilatéraux ou carrés construits sur les côtés | Rotation de \(60^\circ\) ou de \(90^\circ\) autour d'un sommet |
| Minimiser \(PA + PB + PC\) | Rotation de \(60^\circ\) qui déplie la ligne brisée (point de Fermat) |
Exercices d'échauffement¶
- Montrer que l'homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\frac{1}{2}\) envoie \(ABC\) sur le triangle des milieux de ses côtés. En déduire que \(O\) est l'orthocentre du triangle des milieux, puis la droite d'Euler (voir Centres du triangle).
- Soit \(ABCD\) un trapèze de bases \([AB]\) et \([CD]\). Montrer que le point d'intersection des diagonales, celui des côtés non parallèles, et les milieux des deux bases sont alignés.
- Dans le lemme d'Archimède, montrer que \(MK \cdot MT = MA^2\). Indication : triangles semblables \(MAK\) et \(MTA\), ou puissance d'un point.
- (Lemme du diamètre.) Le cercle inscrit dans \(ABC\) touche \([BC]\) en \(D\), et \([DD^*]\) est un diamètre de ce cercle. Le cercle exinscrit en \(A\) touche \([BC]\) en \(D'\). Montrer que \(A\), \(D^*\) et \(D'\) sont alignés. Indication : la tangente au cercle inscrit en \(D^*\) est parallèle à \((BC)\) ; utiliser l'homothétie de centre \(A\) qui envoie le cercle inscrit sur le cercle exinscrit.
- Construire à la règle et au compas un carré dont un côté est sur \([BC]\) et dont les deux autres sommets sont sur \([AB]\) et \([AC]\). Indication : construire d'abord un carré de côté sur \((BC)\) avec un sommet sur \([AB]\), puis appliquer une homothétie de centre \(B\).
- (Point de Fermat.) Soit \(ABC\) un triangle dont les angles sont inférieurs à \(120^\circ\). Trouver le point \(P\) qui minimise \(PA + PB + PC\). Indication : la rotation de centre \(B\) et d'angle \(60^\circ\) envoie \(P\) sur \(P'\) et \(A\) sur \(A'\) ; alors \(PA + PB + PC = A'P' + P'P + PC \geq A'C\).
- Démontrer le résultat de composition des homothéties, en prenant un point \(M\) et son image, puis en cherchant un point fixe sur la droite \((O_1 O_2)\).
Homothétie dans la shortlist¶
- 2025 G1, solution 2 : deux triangles isocèles à côtés parallèles se correspondent par une homothétie de centre \(A\).
- 2021 G4, solution 1 : deux triangles à côtés parallèles, donc les droites joignant leurs sommets concourent.
- 2023 G6 : l'homothétie de centre \(A\) qui envoie un cercle sur l'autre envoie \(D\) sur le milieu d'un arc, comme dans le lemme d'Archimède.
- 2017 G4, solution 3 : l'homothétie de centre \(T\) envoie un cercle sur le cercle passant par trois points.
- 2023 G7 : une homothétie de centre \(A\) et de rapport \(2\) relie deux triangles.
- 2022 G8 : le théorème de Monge est utilisé deux fois.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 7 (M. Aassila), p. 85 à 87 (homothéties), p. 88 à 90 (homothéties et cercles), p. 91 et 92 (composition des homothéties), p. 93 à 98 (exercices), p. 99 à 104 (rotations), p. 105 à 114 (similitudes), p. 115 à 124 (exercices), p. 289 à 294 (extremums et transformations) ; tome 6, p. 23 à 25 (transformations géométriques).
Problèmes de la shortlist¶
39 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (3,2) · dont 4 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 3 · 2 ★ : 8 · 3 ★ : 11 · 4 ★ : 13 · 5 ★ : 4
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2025 G1 | ★☆☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2024 G2 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2016 G2 | ★☆☆☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2024 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2023 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2023 G4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Triangles semblables et similitudes |
| 2021 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Triangles semblables et similitudes |
| 2017 G4 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2014 G2 | ★★☆☆☆ | Ceva et Ménélaüs · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2007 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2006 G2 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Ceva et Ménélaüs |
| 2025 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Coordonnées et nombres complexes |
| 2022 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes |
| 2021 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2020 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Inversion · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2019 G5 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2018 G5 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Coordonnées et nombres complexes |
| 2011 G4 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G4 | ★★★☆☆ | Triangles semblables et similitudes · Coordonnées et nombres complexes |
| 2008 G3 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2006 G6 | ★★★☆☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs |
| 2006 G7 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2024 G6 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G6 | ★★★★☆ | Ceva et Ménélaüs · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G7 | ★★★★☆ | Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2022 G6 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2022 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2017 G6 | ★★★★☆ | Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau |
| 2017 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2015 G7 | ★★★★☆ | Ceva et Ménélaüs · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes |
| 2012 G7 | ★★★★☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2010 G7 | ★★★★☆ | Coordonnées et nombres complexes |
| 2008 G6 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2008 G7 · OIM P6 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2007 G8 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2025 G7 | ★★★★★ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Puissance d'un point et axe radical |
| 2022 G8 | ★★★★★ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2014 G7 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2011 G8 · OIM P6 | ★★★★★ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |