Shortlist 2016

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Les problèmes de l'OIM 2016

Les six problèmes de l'épreuve de l'OIM 2016, choisis dans cette shortlist.

OIM	Problème	Difficulté	Concepts
P1	G1	★☆☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques
P2	C4	★★☆☆☆	Double comptage
P3	N7	★★★★☆	Valuations p-adiques et lemme LTE
P4	N3	★★☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Théorème des restes chinois
P5	A6	★★★★☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation
P6	C7	★★★★☆	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau

Algèbre

Problème	Difficulté	Concepts
2016 A1	★☆☆☆☆	AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage
2016 A2	★☆☆☆☆	Principe des tiroirs
2016 A3	★★☆☆☆	Récurrence et constructions récursives · Principe des tiroirs
2016 A4	★★☆☆☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité
2016 A5	★★★☆☆	Partie entière et majorations · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2016 A6 · OIM P5	★★★★☆	Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation
2016 A7	★★★★☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité
2016 A8	★★★★★	Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · Sommes, télescopage et transformation d'Abel

Combinatoire

Problème	Difficulté	Concepts
2016 C1	★☆☆☆☆	Bijections et dénombrement
2016 C2	★☆☆☆☆	Principe extrémal · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs
2016 C3	★★☆☆☆	Double comptage
2016 C4 · OIM P2	★★☆☆☆	Double comptage
2016 C5	★★★☆☆	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Principe extrémal · Récurrence et constructions récursives
2016 C6	★★★★☆	Graphes : degrés, chemins, arbres · Invariants et monovariants
2016 C7 · OIM P6	★★★★☆	Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau
2016 C8	★★★★★	Coloriages et pavages · Graphes : degrés, chemins, arbres · Principe des tiroirs

Géométrie

Problème	Difficulté	Concepts
2016 G1 · OIM P1	★☆☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques
2016 G2	★☆☆☆☆	Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
2016 G3	★★☆☆☆	Triangles semblables et similitudes
2016 G4	★★☆☆☆	Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Triangles semblables et similitudes · Centres du triangle et lemmes classiques
2016 G5	★★★☆☆	Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Triangles semblables et similitudes
2016 G6	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique
2016 G7	★★★★☆	Triangles semblables et similitudes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Centres du triangle et lemmes classiques
2016 G8	★★★★★	Centres du triangle et lemmes classiques

Théorie des nombres

Problème	Difficulté	Concepts
2016 N1	★☆☆☆☆	Polynômes à coefficients entiers
2016 N2	★☆☆☆☆	Fonctions arithmétiques : nombre de diviseurs, indicatrice d'Euler, somme des diviseurs · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
2016 N3 · OIM P4	★★☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Théorème des restes chinois
2016 N4	★★☆☆☆	Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement
2016 N5	★★★☆☆	Descente infinie et Vieta jumping · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Principe extrémal
2016 N6	★★★★☆	Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide
2016 N7 · OIM P3	★★★★☆	Valuations p-adiques et lemme LTE
2016 N8	★★★★★	Principe des tiroirs · Polynômes à coefficients entiers · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · Diviseurs premiers : Zsigmondy, premiers divisant un polynôme