Triangles semblables et similitudes¶
Domaine : Géométrie · Niveau : intermédiaire · Prérequis : Chasse aux angles
L'idée¶
Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles : l'un est un agrandissement de l'autre, éventuellement retourné. On note \(ABC \sim A'B'C'\), dans l'ordre des sommets correspondants. Toutes les longueurs sont alors multipliées par le même rapport \(k\) :
et cela vaut aussi pour les médianes, les hauteurs, les rayons des cercles inscrit et circonscrit. Les aires sont multipliées par \(k^2\).
Les triangles semblables transforment des égalités d'angles en égalités de rapports, et inversement. C'est le pont entre la chasse aux angles et les calculs de longueurs.
Les critères¶
| Critère | Condition |
|---|---|
| Angle-angle | Deux paires d'angles égaux (la troisième suit) |
| Angle-rapport | \(\angle A = \angle A'\) et \(\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC}\) |
| Trois rapports | \(\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA}\) |
La similitude est directe si les deux triangles ont la même orientation (on passe de l'un à l'autre sans retournement), indirecte sinon.
Les similitudes en spirale¶
Une similitude directe de centre \(S\) est la composée d'une rotation de centre \(S\) et d'une homothétie de centre \(S\). Elle envoie tout triangle sur un triangle directement semblable. Deux faits la rendent très utile.
Le lemme de la spirale
- Les similitudes vont par paires. Si une similitude de centre \(S\) envoie \(A\) sur \(C\) et \(B\) sur \(D\), alors \(SAB \sim SCD\), et donc aussi \(SAC \sim SBD\) : une autre similitude de centre \(S\) envoie \(A\) sur \(B\) et \(C\) sur \(D\).
- Où est le centre. Si les droites \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(P\), le centre de la similitude qui envoie \(A\) sur \(B\) et \(C\) sur \(D\) est le second point d'intersection des cercles circonscrits à \(PAC\) et à \(PBD\).
L'exemple résolu démontre ces deux faits. Le centre d'une telle similitude est souvent un point de Miquel.
La similitude comme transformation¶
Une similitude directe est la composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre. En nombres complexes, c'est \(z \mapsto \lambda z + \mu\) : son rapport est \(\lvert \lambda \rvert\) et son angle est \(\arg \lambda\) (voir Coordonnées et complexes).
- Si ce n'est pas une translation (\(\lambda \neq 1\)), elle a un unique point fixe, son centre.
- La composée de deux similitudes directes est une similitude directe : les rapports se multiplient et les angles s'additionnent.
- Une similitude indirecte est la composée d'une similitude directe et d'une symétrie axiale ; elle renverse le sens des angles.
Deux triangles semblables avec un angle commun. Supposons \(AXY \sim ABC\), avec \(X\) sur \((AB)\) et \(Y\) sur \((AC)\).
- Si la similitude est directe, \((XY) \parallel (BC)\) : c'est Thalès.
- Si elle est indirecte (\(\angle AXY = \angle ACB\)), alors \(B\), \(C\), \(Y\), \(X\) sont cocycliques : \((XY)\) est antiparallèle à \((BC)\) (voir Chasse aux angles).
Ce petit dictionnaire permet de passer en une ligne d'une similitude à un parallélisme ou à une cocyclicité.
Exemple résolu¶
Problème
Deux cercles \(\omega_1\) et \(\omega_2\) se coupent en \(P\) et \(Q\). Une droite passant par \(P\) recoupe \(\omega_1\) en \(A\) et \(\omega_2\) en \(B\). Une autre droite passant par \(P\) recoupe \(\omega_1\) en \(C\) et \(\omega_2\) en \(D\). Montrer que les triangles \(QAB\) et \(QCD\) sont semblables, puis que les triangles \(QAC\) et \(QBD\) le sont aussi.
Étape 1 : l'angle en \(A\) et en \(C\). Dans \(\omega_1\), les angles inscrits \(\angle QAP\) et \(\angle QCP\) interceptent la même corde \([QP]\). Ils sont égaux, donc \(\angle QAB = \angle QCD\).
Étape 2 : l'angle en \(B\) et en \(D\). De même dans \(\omega_2\), \(\angle QBP = \angle QDP\), donc \(\angle QBA = \angle QDC\).
Étape 3 : première similitude. Par le critère angle-angle, \(QAB \sim QCD\). Donc
Étape 4 : la seconde similitude. En retranchant l'angle commun \(\angle AQD\) (sur la figure), on obtient \(\angle AQC = \angle BQD\). Avec \(\frac{QA}{QB} = \frac{QC}{QD}\) (réécriture de l'égalité de l'étape 3), le critère angle-rapport donne \(QAC \sim QBD\).
Conclusion. \(Q\) est le centre d'une similitude qui envoie \(A\) sur \(C\) et \(B\) sur \(D\), et d'une autre qui envoie \(A\) sur \(B\) et \(C\) sur \(D\). En faisant tourner la droite \((AB)\) autour de \(P\), le triangle \(QAB\) garde la même forme : c'est la similitude de centre \(Q\) qui envoie \(\omega_1\) sur \(\omega_2\).
Pour une preuve valable dans toutes les configurations, on écrit les étapes 1 et 2 avec des angles orientés.
Le réflexe : dès que deux cercles se coupent en \(Q\), chercher les triangles de sommet \(Q\) dont les autres sommets sont sur les deux cercles et alignés avec \(P\).
Comment le reconnaître¶
- L'énoncé demande une égalité de rapports, un produit de longueurs, ou une égalité d'angles entre deux figures éloignées.
- La figure contient deux triangles qui ont la même forme, souvent avec un sommet commun.
- Deux cercles se coupent, et l'on fait varier une droite passant par un point d'intersection.
- Un point est défini par deux angles égaux à des angles d'une autre figure.
- On veut transporter une propriété (milieu, médiane, centre) d'une figure vers une figure semblable.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| Une égalité de rapports à prouver | La lire comme une similitude \(XYZ \sim X'Y'Z'\), puis la prouver par les angles |
| Deux triangles semblables avec un sommet commun \(S\) | Lemme de la spirale : une seconde paire de triangles semblables apparaît |
| Trouver le centre d'une similitude | Second point commun de deux cercles (point de Miquel) |
| Des milieux ou des médianes | Dans des triangles semblables, les milieux et médianes se correspondent |
| Triangle rectangle avec la hauteur | Trois triangles semblables : \(CH^2 = AH \cdot HB\), \(AC^2 = AH \cdot AB\) |
| Deux segments de même longueur, image l'un de l'autre | La similitude est une rotation |
| Deux triangles semblables avec un angle commun | Parallélisme si la similitude est directe, cocyclicité si elle est indirecte |
| Composer deux similitudes | Rapports multipliés, angles additionnés ; chercher le point fixe |
Exercices d'échauffement¶
- Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(C\), de hauteur \([CH]\). Montrer que \(CH^2 = AH \cdot HB\) et \(AC^2 = AH \cdot AB\).
- Soient \(ABC\) et \(AB'C'\) deux triangles directement semblables, de sommet commun \(A\). Montrer que \(ABB'\) et \(ACC'\) sont semblables.
- (Théorème de Ptolémée.) Soit \(ABCD\) un quadrilatère inscrit. Montrer que \(AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC\). Indication : placer \(E\) sur \([BD]\) avec \(\angle BAE = \angle CAD\), et trouver deux paires de triangles semblables.
- On construit à l'extérieur du triangle \(ABC\) les carrés \(ABDE\) et \(ACFG\). Montrer que \(BG = CE\) et que \((BG) \perp (CE)\). Indication : une rotation de centre \(A\).
- Deux cercles se coupent en \(P\) et \(Q\). Une droite passant par \(P\) recoupe les cercles en \(A\) et \(B\). Montrer que, lorsque la droite varie, le milieu \(M\) de \([AB]\) décrit un cercle passant par \(P\) et \(Q\). Indication : la forme du triangle \(QAB\) est constante, donc celle de \(QAM\) aussi.
- Montrer avec les nombres complexes que la composée de deux similitudes directes de rapports \(k_1\), \(k_2\) et d'angles \(\theta_1\), \(\theta_2\) est une similitude directe de rapport \(k_1 k_2\) et d'angle \(\theta_1 + \theta_2\), ou une translation.
- Soit \(ABC\) un triangle, et \(E\), \(F\) les pieds des hauteurs issues de \(B\) et \(C\). Montrer que les triangles \(AEF\) et \(ABC\) sont semblables, de rapport \(\lvert \cos \alpha \rvert\).
Triangles semblables dans la shortlist¶
- 2016 G1 : de \(ABF \sim ACD\) on tire \(ABC \sim AFD\), une similitude en spirale autour de \(A\).
- 2019 G2 : deux triangles rectangles semblables, de rapport égal au rapport des rayons.
- 2018 G4 : \(A_1BC \sim A_1B_2C_2\) donne aussi \(A_1BB_2 \sim A_1CC_2\), par le lemme de la spirale.
- 2024 G1, solution 3 : le point de Miquel est le centre d'une similitude entre deux segments de même longueur, donc d'une rotation.
- 2022 G4, solution 2 : le point de Miquel est le centre de la similitude directe d'angle droit qui envoie un segment sur un autre.
- 2024 G8 : une similitude envoie un triangle sur un autre, et donc aussi les centres de leurs cercles inscrits.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 6 (M. Aassila), p. 16 et 17 (triangles semblables), p. 69 à 77 (triangles semblables, avec exercices), p. 113 à 115 (droites antiparallèles et similitudes indirectes) ; tome 7, p. 105 à 114 (similitudes, avec exercices), p. 207 et 208 (triangles semblables et nombres complexes).
Problèmes de la shortlist¶
70 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (2,6) · dont 16 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 15 · 2 ★ : 18 · 3 ★ : 19 · 4 ★ : 15 · 5 ★ : 3
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2025 G2 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2024 G1 | ★☆☆☆☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2023 G1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Coordonnées et nombres complexes |
| 2023 G2 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2022 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2019 G2 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2017 G2 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2016 G1 · OIM P1 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2016 G2 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2015 G1 | ★☆☆☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2015 G2 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2014 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2013 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2012 G2 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2007 G1 · OIM P4 | ★☆☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2025 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2024 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2023 G4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2022 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2022 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2021 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Homothétie |
| 2019 G4 | ★★☆☆☆ | Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Coordonnées et nombres complexes |
| 2017 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2016 G3 | ★★☆☆☆ | - |
| 2016 G4 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2015 G3 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2015 G4 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Puissance d'un point et axe radical |
| 2013 G2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2010 G2 · OIM P4 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2009 G2 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Coordonnées et nombres complexes |
| 2007 G4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2006 G3 | ★★☆☆☆ | Ceva et Ménélaüs |
| 2025 G4 · OIM P2 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2025 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Coordonnées et nombres complexes |
| 2023 G5 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Centres du triangle et lemmes classiques · Inversion |
| 2022 G5 | ★★★☆☆ | Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2021 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2020 G5 | ★★★☆☆ | Homothétie · Inversion · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2020 G6 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2019 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Homothétie |
| 2018 G4 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2016 G5 | ★★★☆☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2015 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Ceva et Ménélaüs |
| 2014 G4 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique · Inversion |
| 2013 G4 | ★★★☆☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2013 G5 | ★★★☆☆ | Coordonnées et nombres complexes · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2010 G4 · OIM P2 | ★★★☆☆ | Ceva et Ménélaüs · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2009 G4 | ★★★☆☆ | Homothétie · Coordonnées et nombres complexes |
| 2008 G4 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2007 G5 | ★★★☆☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2006 G5 | ★★★☆☆ | Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2025 G6 | ★★★★☆ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Ceva et Ménélaüs |
| 2024 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G6 | ★★★★☆ | Homothétie · Ceva et Ménélaüs · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires |
| 2023 G7 | ★★★★☆ | Homothétie · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2019 G6 | ★★★★☆ | Ceva et Ménélaüs · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Inversion · Puissance d'un point et axe radical · Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2018 G6 · OIM P6 | ★★★★☆ | Inversion · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2016 G6 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2016 G7 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion · Centres du triangle et lemmes classiques |
| 2015 G6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2015 G7 | ★★★★☆ | Homothétie · Ceva et Ménélaüs · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2014 G6 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Coordonnées et nombres complexes · Ceva et Ménélaüs |
| 2013 G6 · OIM P3 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2007 G6 | ★★★★☆ | Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau |
| 2007 G7 | ★★★★☆ | Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical |
| 2006 G9 | ★★★★☆ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques |
| 2024 G8 | ★★★★★ | Centres du triangle et lemmes classiques · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Puissance d'un point et axe radical · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique |
| 2021 G8 | ★★★★★ | Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques · Puissance d'un point et axe radical · Inversion |
| 2009 G8 | ★★★★★ | Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Centres du triangle et lemmes classiques |