Convexité, inégalité de Jensen, lissage¶
Domaine : Algèbre · Niveau : intermédiaire · Prérequis : AM-GM et moyennes
L'idée¶
Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle si chacune de ses cordes est au-dessus de sa courbe : pour tous \(x, y\) et tout \(t \in [0, 1]\),
Elle est concave si l'inégalité est dans l'autre sens. En pratique, on vérifie la convexité avec la dérivée seconde : \(f'' \geq 0\) sur l'intervalle.
L'inégalité de Jensen. Si \(f\) est convexe et \(t_1, \ldots, t_n \geq 0\) sont des poids de somme \(1\) :
Avec des poids égaux : \(f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1) + \cdots + f(x_n)}{n}\). La moyenne des images est au moins l'image de la moyenne. Pour \(f\) concave, tout s'inverse.
La convexité sert de trois façons :
- Minorer une somme \(\sum f(x_i)\) quand \(\sum x_i\) est fixé : par Jensen, avec égalité quand tous les \(x_i\) sont égaux.
- Localiser un maximum : une fonction convexe sur un segment atteint son maximum en une extrémité. Si une expression est convexe (ou affine) en chaque variable séparément, son maximum sur un pavé est atteint en un sommet.
- Lisser : remplacer deux variables par deux valeurs plus proches (ou plus éloignées) sans changer leur somme, et montrer que l'expression évolue toujours dans le même sens. On se ramène ainsi à des variables égales, ou à des valeurs extrêmes.
Fonctions à connaître¶
| Convexes | Concaves |
|---|---|
| \(x^2\), et \(x^p\) pour \(p \geq 1\) sur \([0, +\infty[\) | \(\sqrt{x}\), et \(x^p\) pour \(0 < p < 1\) sur \([0, +\infty[\) |
| \(\frac{1}{x}\) sur \(]0, +\infty[\) | \(\ln x\) sur \(]0, +\infty[\) |
| \(e^x\), \(a^x\) | \(\sin x\) sur \([0, \pi]\) |
| \(x \ln x\) sur \(]0, +\infty[\) | \(\cos x\) sur \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) |
La concavité de \(\ln\) donne directement AM-GM, et sa version pondérée.
La méthode de la tangente¶
Une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes : \(f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)\). Quand la fonction n'est pas convexe partout, on peut quand même utiliser sa tangente au point d'égalité, à condition de vérifier l'inégalité \(f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)\) sur le domaine voulu. Cette vérification se fait souvent en factorisant par \((x - a)^2\).
Exemple résolu¶
Problème
Soient \(x, y, z > 0\) avec \(x + y + z = 1\). Montrer que \(\dfrac{x}{1 + x^2} + \dfrac{y}{1 + y^2} + \dfrac{z}{1 + z^2} \leq \dfrac{9}{10}\).
Étape 1 : deviner le cas d'égalité. Pour \(x = y = z = \frac{1}{3}\), chaque terme vaut \(\frac{1/3}{10/9} = \frac{3}{10}\), et la somme vaut \(\frac{9}{10}\). L'inégalité est donc optimale, avec égalité au point symétrique.
Étape 2 : la tangente en \(\frac{1}{3}\). Avec \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\), on a \(f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}\), donc \(f'\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{18}{25}\). La tangente en \(\frac{1}{3}\) est
Étape 3 : vérifier que la courbe est sous la tangente. Pour \(x > 0\), l'inégalité \(\frac{x}{1 + x^2} \leq \frac{36x + 3}{50}\) équivaut à \(36x^3 + 3x^2 - 14x + 3 \geq 0\). Comme \(x = \frac{1}{3}\) est racine double, on factorise :
Étape 4 : sommer. En ajoutant les trois inégalités et en utilisant \(x + y + z = 1\) :
On n'a jamais eu besoin d'étudier la convexité de \(f\) : la tangente au point d'égalité suffit. C'est la version « Jensen sans Jensen », très utile quand \(f''\) est pénible à calculer ou change de signe.
Comment le reconnaître¶
- Une somme séparée \(f(x_1) + \cdots + f(x_n)\) de la même fonction, avec une contrainte sur \(x_1 + \cdots + x_n\).
- Le cas d'égalité est « toutes les variables égales » : Jensen ou la tangente.
- Le cas d'égalité est aux bords (des variables valent \(0\), \(1\) ou \(\pm 1\)) : penser à « convexe en chaque variable, donc maximum en un sommet ».
- Des racines, des puissances non entières, des logarithmes, des exponentielles.
Techniques classiques¶
| Situation | Technique |
|---|---|
| \(\sum f(x_i)\) avec \(\sum x_i\) fixé et \(f\) convexe | Jensen |
| \(f\) n'est pas convexe partout | Tangente au point d'égalité, vérifiée en factorisant par \((x - a)^2\) (exemple résolu) |
| Expression affine ou convexe en chaque variable sur \([a, b]^n\) | Le maximum est atteint en un sommet : on teste les valeurs extrêmes |
| Expression symétrique non séparée | Lisser : rapprocher deux variables à somme constante et montrer que l'expression diminue |
| Produit de facteurs | Passer au logarithme, puis concavité de \(\ln\) |
| Comparer des sommes de puissances | Convexité de \(x^p\) (\(p \geq 1\)), ce qui donne l'inégalité des moyennes d'ordre \(p\) |
Exercices d'échauffement¶
- Déduire AM-GM de la concavité de \(\ln\).
- Soient \(A, B, C\) les angles d'un triangle. Montrer que \(\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
- Soient \(a, b, c > 0\) avec \(a + b + c = 1\). Montrer que \(\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1 - c} \geq \frac{9}{2}\).
- Montrer que pour \(x, y, z \in [0, 1]\), on a \(x + y + z - xy - yz - zx \leq 1\). Indication : l'expression est affine en chaque variable.
- Soient \(a, b, c > 0\) avec \(a + b + c = 3\). Montrer que \(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq 3\) de deux façons : par Jensen, puis par la tangente \(\sqrt{x} \leq \frac{1 + x}{2}\).
Convexité dans la shortlist¶
- 2015 A3 : l'expression est affine en chaque variable, donc son maximum est atteint quand chaque \(x_i\) vaut \(\pm 1\).
- 2021 A4, solution 1 : la fonction est concave par morceaux, donc son minimum sur un segment est atteint en une extrémité.
- 2024 A3, solution 2 : la convexité de \(x \mapsto x^{\log_3 4}\) compare \(\sum 4^{a_i}\) et \(\sum 3^{a_i}\).
- 2016 A1, solution 2 : \(\ln(1 + x^2)\) est concave sur \([1, +\infty[\).
- 2021 A5, solution 2 : un lissage, où couper un terme en deux moitiés augmente strictement la somme.
Pour approfondir : Objectif Olympiades de Mathématiques, tome 2 (M. Aassila), p. 294 (définition et inégalité de Jensen), p. 295 (critères par les dérivées, position par rapport aux tangentes), p. 296 (moyenne pondérée), p. 300 (Bernoulli et inégalité de Schur), p. 302 (inégalité de Popoviciu), p. 386 à 388 (méthode SMV, une forme systématique du lissage).
Problèmes de la shortlist¶
18 problèmes · difficulté moyenne : ★★★★★ (2,7) · dont 3 choisis pour l'OIM
Répartition par difficulté : 1 ★ : 3 · 2 ★ : 7 · 3 ★ : 3 · 4 ★ : 3 · 5 ★ : 2
| Problème | Difficulté | Concepts |
|---|---|---|
| 2019 A2 | ★☆☆☆☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2016 A1 | ★☆☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2010 A2 | ★☆☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2024 A3 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2022 A3 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes · Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité |
| 2021 A4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | - |
| 2020 A4 · OIM P2 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2015 A3 | ★★☆☆☆ | - |
| 2009 A2 | ★★☆☆☆ | AM-GM et moyennes |
| 2007 A3 | ★★☆☆☆ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel |
| 2021 A5 | ★★★☆☆ | Sommes, télescopage et transformation d'Abel |
| 2009 C4 | ★★★☆☆ | Coloriages et pavages · Double comptage |
| 2006 A5 | ★★★☆☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu |
| 2021 A7 | ★★★★☆ | Suites et récurrences · Sommes, télescopage et transformation d'Abel · AM-GM et moyennes |
| 2011 A7 | ★★★★☆ | Cauchy-Schwarz et lemme de Titu · AM-GM et moyennes |
| 2006 N6 | ★★★★☆ | Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler |
| 2021 A8 | ★★★★★ | Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie, continuité |
| 2018 A7 | ★★★★★ | AM-GM et moyennes |