Shortlist 2006, A6

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★★☆☆ · Proposé par : Ireland

Concepts : Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation · AM-GM et moyennes

Solution officielle : Shortlist officielle 2006 (avec solutions), p. 17 (page 18 du PDF)

Problème 3 de l'OIM 2006

Ce problème a été choisi parmi ceux de la shortlist pour l'épreuve de l'OIM 2006, où il était le problème 3 (jour 1).

Énoncé

Determine the smallest number \(M\) such that the inequality

\[\left\lvert ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right\rvert \leq M\left(a^2 + b^2 + c^2\right)^2\]

holds for all real numbers \(a, b, c\).

Indices : les idées clés

• Factorisation : vu comme polynôme en \(a\), le membre de gauche s'annule en \(b\), \(c\), \(-b - c\), d'où \(\lvert (b - c)(a - b)(a - c)(a + b + c) \rvert\).
• Majorations : avec \(a \leq b \leq c\), \((b - a)(c - b) \leq \frac{(c - a)^2}{4}\) et \(3(c - a)^2 \leq 2\sum(b - a)^2\), égalité pour \(2b = a + c\).
• AM-GM pondérée : on aboutit à \(M = \frac{9\sqrt{2}}{32}\), atteint en \((1 - \frac{3}{2}\sqrt{2}, 1, 1 + \frac{3}{2}\sqrt{2})\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2006 (une solution et une remarque). C'est le problème 3 de l'OIM 2006.

Solution

Réponse : \(M = \frac{9}{32}\sqrt{2}\).

Considérons d'abord le polynôme du troisième degré

\[P(t) = tb(t^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ct(c^2 - t^2).\]

On vérifie facilement que \(P(b) = P(c) = P(-b - c) = 0\), donc

\[P(t) = (b - c)(t - b)(t - c)(t + b + c),\]

puisque le coefficient du terme de degré \(3\) vaut \(b - c\). Le membre de gauche de l'inégalité proposée s'écrit donc

\[\lvert ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \rvert = \lvert P(a) \rvert = \lvert (b - c)(a - b)(a - c)(a + b + c) \rvert.\]

Le problème revient à trouver le plus petit nombre \(M\) vérifiant l'inégalité

\[\lvert (b - c)(a - b)(a - c)(a + b + c) \rvert \leq M \cdot (a^2 + b^2 + c^2)^2. \tag{1}\]

Remarquons que cette expression est symétrique ; on peut donc supposer \(a \leq b \leq c\) sans perte de généralité. Avec cette hypothèse,

\[\lvert (a - b)(b - c) \rvert = (b - a)(c - b) \leq \left(\frac{(b - a) + (c - b)}{2}\right)^2 = \frac{(c - a)^2}{4}, \tag{2}\]

avec égalité si et seulement si \(b - a = c - b\), c'est-à-dire \(2b = a + c\). De plus,

\[\left(\frac{(c - b) + (b - a)}{2}\right)^2 \leq \frac{(c - b)^2 + (b - a)^2}{2},\]

ou, de façon équivalente,

\[3(c - a)^2 \leq 2 \cdot \left[(b - a)^2 + (c - b)^2 + (c - a)^2\right], \tag{3}\]

là encore avec égalité seulement pour \(2b = a + c\). De (2) et (3), on obtient

\[\begin{aligned} \lvert (b - c)(a - b)(a - c)(a + b + c) \rvert &\leq \frac{1}{4} \cdot \lvert (c - a)^3(a + b + c) \rvert = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{(c - a)^6(a + b + c)^2} \\ &\leq \frac{1}{4} \cdot \sqrt{\left(\frac{2 \cdot [(b - a)^2 + (c - b)^2 + (c - a)^2]}{3}\right)^3 \cdot (a + b + c)^2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\sqrt[4]{\left(\frac{(b - a)^2 + (c - b)^2 + (c - a)^2}{3}\right)^3 \cdot (a + b + c)^2}\right)^2. \end{aligned}\]

Par l'inégalité arithmético-géométrique pondérée, cette estimation se poursuit ainsi :

\[\lvert (b - c)(a - b)(a - c)(a + b + c) \rvert \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{(b - a)^2 + (c - b)^2 + (c - a)^2 + (a + b + c)^2}{4}\right)^2 = \frac{9\sqrt{2}}{32} \cdot (a^2 + b^2 + c^2)^2.\]

On voit que l'inégalité (1) est vérifiée pour \(M = \frac{9}{32}\sqrt{2}\), avec égalité si et seulement si \(2b = a + c\) et

\[\frac{(b - a)^2 + (c - b)^2 + (c - a)^2}{3} = (a + b + c)^2.\]

En substituant \(b = (a + c)/2\) dans cette dernière équation, on la met sous la forme équivalente

\[2(c - a)^2 = 9(a + c)^2.\]

Les conditions d'égalité se réécrivent donc

\[2b = a + c \qquad \text{et} \qquad (c - a)^2 = 18b^2.\]

En posant \(b = 1\), on obtient \(a = 1 - \frac{3}{2}\sqrt{2}\) et \(c = 1 + \frac{3}{2}\sqrt{2}\). On voit que \(M = \frac{9}{32}\sqrt{2}\) est bien la plus petite constante vérifiant l'inégalité, avec égalité pour tout triplet \((a, b, c)\) proportionnel à \(\left(1 - \frac{3}{2}\sqrt{2}, 1, 1 + \frac{3}{2}\sqrt{2}\right)\), à permutation près. \(\blacksquare\)

Remarque

Avec les notations \(x = b - a\), \(y = c - b\), \(z = a - c\), \(s = a + b + c\) et \(r^2 = a^2 + b^2 + c^2\), l'inégalité (1) devient simplement \(\lvert sxyz \rvert \leq Mr^4\) (avec des contraintes convenables sur \(s\) et \(r\)). L'inégalité asymétrique initiale devient une inégalité symétrique classique ; à partir de là, la solution peut se terminer de nombreuses façons. On peut par exemple utiliser que, pour des valeurs fixées de \(\sum x\) et \(\sum x^2\), le produit \(xyz\) n'est maximal ou minimal que si deux des nombres \(x\), \(y\), \(z\) sont égaux, ce qui retire un degré de liberté, etc.

Comme le fait remarquer le proposant, un attrait particulier du problème est que le maximum est atteint en un point \((a, b, c)\) dont toutes les coordonnées sont distinctes.