Shortlist 2006, N1

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : United States of America

Concepts : Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Valuations p-adiques et lemme LTE

Solution officielle : Shortlist officielle 2006 (avec solutions), p. 55 (page 56 du PDF)

Problème 4 de l'OIM 2006

Ce problème a été choisi parmi ceux de la shortlist pour l'épreuve de l'OIM 2006, où il était le problème 4 (jour 2).

Énoncé

Determine all pairs \((x, y)\) of integers satisfying the equation

\[1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.\]

Indices : les idées clés

• Factorisation : \(2^x(1 + 2^{x+1}) = (y - 1)(y + 1)\), deux facteurs pairs dont un seul divisible par \(4\).
• Valuation 2-adique : l'un des facteurs est divisible par \(2^{x-1}\) mais pas par \(2^x\), d'où \(y = 2^{x-1}m + \epsilon\), \(m\) impair, \(\epsilon = \pm 1\).
• Encadrement : \(1 - \epsilon m = 2^{x-2}(m^2 - 8)\) force \(\epsilon = -1\) et \(m = 3\) (équation diophantienne), d'où \(x = 4\), \(y = \pm 23\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2006 (une solution). C'est le problème 4 de l'OIM 2006.

Solution

Réponse : \((0, 2)\), \((0, -2)\), \((4, 23)\), \((4, -23)\).

Si \((x, y)\) est une solution, alors évidemment \(x \geq 0\), et \((x, -y)\) est aussi une solution. Pour \(x = 0\), on obtient les deux solutions \((0, 2)\) et \((0, -2)\).

Soit maintenant \((x, y)\) une solution avec \(x > 0\) ; sans perte de généralité, on se restreint à \(y > 0\). L'équation réécrite sous la forme

\[2^x(1 + 2^{x+1}) = (y - 1)(y + 1)\]

montre que les facteurs \(y - 1\) et \(y + 1\) sont pairs, et qu'exactement l'un d'eux est divisible par \(4\). Donc \(x \geq 3\), et l'un de ces facteurs est divisible par \(2^{x-1}\) mais pas par \(2^x\). Ainsi

\[y = 2^{x-1}m + \epsilon, \qquad m \text{ impair}, \quad \epsilon = \pm 1. \tag{1}\]

En reportant dans l'équation initiale, on obtient

\[2^x\left(1 + 2^{x+1}\right) = \left(2^{x-1}m + \epsilon\right)^2 - 1 = 2^{2x-2}m^2 + 2^xm\epsilon,\]

ou, de façon équivalente,

\[1 + 2^{x+1} = 2^{x-2}m^2 + m\epsilon.\]

Donc

\[1 - \epsilon m = 2^{x-2}(m^2 - 8). \tag{2}\]

Pour \(\epsilon = 1\), cela donne \(m^2 - 8 \leq 0\), c'est-à-dire \(m = 1\), qui ne vérifie pas (2).

Pour \(\epsilon = -1\), l'équation (2) donne

\[1 + m = 2^{x-2}(m^2 - 8) \geq 2(m^2 - 8),\]

ce qui implique \(2m^2 - m - 17 \leq 0\). Donc \(m \leq 3\) ; d'autre part, \(m\) ne peut pas valoir \(1\) d'après (2). Comme \(m\) est impair, on obtient \(m = 3\), ce qui mène à \(x = 4\). D'après (1), on obtient \(y = 23\). Ces valeurs vérifient bien l'équation. Rappelons qu'alors \(y = -23\) convient aussi. On a donc la liste complète des solutions \((x, y)\) : \((0, 2)\), \((0, -2)\), \((4, 23)\), \((4, -23)\). \(\blacksquare\)