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Shortlist 2006, N5

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★★☆☆ · Proposé par : Russia

Concepts : Ordre d'un élément et racines primitives · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler

Solution officielle : Shortlist officielle 2006 (avec solutions), p. 59 (page 60 du PDF)

Énoncé

Find all integer solutions of the equation

\[\frac{x^7 - 1}{x - 1} = y^5 - 1.\]
Indices : les idées clés
  • Lemme : tout diviseur premier \(p\) de \(\frac{x^7 - 1}{x - 1}\) vérifie \(p \equiv 1 \pmod 7\) ou \(p = 7\) (ordre de \(x\) modulo \(p\), via Bézout entre \(7\) et \(p - 1\)).
  • Diviseurs : tout diviseur positif de \(\frac{x^7 - 1}{x - 1}\) est donc \(\equiv 0\) ou \(1 \pmod 7\).
  • Contradiction modulo \(7\) : \(y - 1\) et \(1 + y + y^2 + y^3 + y^4\) sont deux tels diviseurs, mais \(y \equiv 1\) ou \(2\) donne pour le second \(5\) ou \(3\) modulo \(7\).
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2006 (une solution).

Réponse : l'équation n'a pas de solution entière.

Solution

Pour le montrer, prouvons d'abord un lemme.

Lemme. Si \(x\) est un entier et \(p\) un diviseur premier de \(\frac{x^7 - 1}{x - 1}\), alors \(p \equiv 1 \pmod 7\) ou \(p = 7\).

Preuve. Les nombres \(x^7 - 1\) et \(x^{p-1} - 1\) sont tous deux divisibles par \(p\), par hypothèse et par le petit théorème de Fermat respectivement. Supposons que \(7\) ne divise pas \(p - 1\). Alors \(\gcd(p - 1, 7) = 1\), donc il existe des entiers \(k\) et \(m\) tels que \(7k + (p - 1)m = 1\). On a donc

\[x \equiv x^{7k + (p-1)m} \equiv (x^7)^k \cdot (x^{p-1})^m \equiv 1 \pmod p,\]

et donc

\[\frac{x^7 - 1}{x - 1} = 1 + x + \cdots + x^6 \equiv 7 \pmod p.\]

Il s'ensuit que \(p\) divise \(7\), donc \(p = 7\) si \(p \equiv 1 \pmod 7\) n'est pas vrai, comme annoncé. \(\square\)

Le lemme montre que tout diviseur positif \(d\) de \(\frac{x^7 - 1}{x - 1}\) vérifie \(d \equiv 0 \pmod 7\) ou \(d \equiv 1 \pmod 7\).

Supposons maintenant que \((x, y)\) soit une solution entière de l'équation. Remarquons que \(y - 1 > 0\), puisque \(\frac{x^7 - 1}{x - 1} > 0\) pour tout \(x \neq 1\). Comme \(y - 1\) divise \(\frac{x^7 - 1}{x - 1} = y^5 - 1\), on a \(y \equiv 1 \pmod 7\) ou \(y \equiv 2 \pmod 7\) d'après le paragraphe précédent. Dans le premier cas, \(1 + y + y^2 + y^3 + y^4 \equiv 5 \pmod 7\), et dans le second, \(1 + y + y^2 + y^3 + y^4 \equiv 3 \pmod 7\). Les deux possibilités contredisent le fait que le diviseur positif \(1 + y + y^2 + y^3 + y^4\) de \(\frac{x^7 - 1}{x - 1}\) est congru à \(0\) ou à \(1\) modulo \(7\). L'équation donnée n'a donc pas de solution entière. \(\blacksquare\)