Shortlist 2007, G6¶

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★★★☆ · Proposé par : United States of America

Concepts : Géométrie combinatoire : enveloppe convexe, points du réseau · Triangles semblables et similitudes

Solution officielle : Shortlist officielle 2007 (avec solutions), p. 46 (page 47 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

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Énoncé¶

Determine the smallest positive real number \(k\) with the following property.

Let \(ABCD\) be a convex quadrilateral, and let points \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) and \(D_1\) lie on sides \(AB\), \(BC\), \(CD\) and \(DA\), respectively. Consider the areas of triangles \(AA_1D_1\), \(BB_1A_1\), \(CC_1B_1\), and \(DD_1C_1\); let \(S\) be the sum of the two smallest ones, and let \(S_1\) be the area of quadrilateral \(A_1B_1C_1D_1\). Then we always have \(kS_1 \geq S\).

Indices : les idées clés

Minoration \(k \geq 1\) : un quadrilatère presque triangle \(ABC\) avec \(D\) proche du milieu de \(AC\) fait tendre le rapport vers \(1\).
Lemme : si \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) sont sur les côtés d'un triangle \(ABC\), alors \([A_1B_1C_1] \geq \min\{[AC_1B_1], [BA_1C_1], [CB_1A_1]\}\) (comparaison d'aires, avec les milieux).
Petits et grands triangles : on découpe \(A_1B_1C_1D_1\) par une diagonale ; si les deux moitiés étaient « petites », le lemme appliqué à un triangle \(LKB\) bien choisi mènerait à une contradiction.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2007 (une solution).

Solution¶

Réponse : \(k = 1\).

Dans toute la solution, les triangles \(AA_1D_1\), \(BB_1A_1\), \(CC_1B_1\) et \(DD_1C_1\) sont appelés triangles du bord. On note \([\mathcal{R}]\) l'aire d'une région \(\mathcal{R}\).

Montrons d'abord que \(k \geq 1\). Considérons un triangle \(ABC\) d'aire \(1\) ; soient \(A_1\), \(B_1\), \(K\) les milieux de ses côtés \(AB\), \(BC\), \(AC\) respectivement. Choisissons un point \(D\) sur le prolongement de \(BK\), proche de \(K\). Prenons des points \(C_1\) et \(D_1\) sur les côtés \(CD\) et \(DA\), proches de \(D\) (voir figure 1). On a \([BB_1A_1] = \frac{1}{4}\). De plus, quand \(C_1, D_1, D \to K\), on obtient \([A_1B_1C_1D_1] \to [A_1B_1K] = \frac{1}{4}\), \([AA_1D_1] \to [AA_1K] = \frac{1}{4}\), \([CC_1B_1] \to [CKB_1] = \frac{1}{4}\) et \([DD_1C_1] \to 0\). La somme des deux plus petites aires des triangles du bord tend donc vers \(\frac{1}{4}\), tout comme \([A_1B_1C_1D_1]\) ; leur rapport tend donc vers \(1\), et \(k \geq 1\).

Il reste à prouver que \(k = 1\) a la propriété voulue.

Figures 1 à 3

Lemme. Soient \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) des points situés respectivement sur les côtés \(BC\), \(CA\), \(AB\) d'un triangle \(ABC\). Alors \([A_1B_1C_1] \geq \min\{[AC_1B_1], [BA_1C_1], [CB_1A_1]\}\).

Preuve. Soient \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux des côtés \(BC\), \(CA\) et \(AB\) respectivement.

Supposons que deux des points \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) soient dans l'un des triangles \(AC'B'\), \(BA'C'\) et \(CB'A'\) (par commodité, supposons que \(B_1\) et \(C_1\) soient dans le triangle \(AC'B'\) ; voir figure 2). Soit \(X\) le point d'intersection des segments \(B_1C_1\) et \(AA_1\). Alors \(X\) est aussi dans le triangle \(AC'B'\). Donc \(A_1X \geq AX\), et l'on a

\[\frac{[A_1B_1C_1]}{[AC_1B_1]} = \frac{\frac{1}{2}A_1X \cdot B_1C_1 \cdot \sin \angle A_1XC_1}{\frac{1}{2}AX \cdot B_1C_1 \cdot \sin \angle AXB_1} = \frac{A_1X}{AX} \geq 1,\]

comme voulu.

Sinon, chacun des triangles \(AC'B'\), \(BA'C'\), \(CB'A'\) contient exactement l'un des points \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), et l'on peut supposer que \(BA_1 < BA'\), \(CB_1 < CB'\), \(AC_1 < AC'\) (voir figure 3). Alors les droites \(B_1A_1\) et \(AB\) se coupent en un point \(Y\) du prolongement de \(AB\) au-delà du point \(B\), donc \(\frac{[A_1B_1C_1]}{[A_1B_1C']} = \frac{C_1Y}{C'Y} > 1\) ; de plus, les droites \(A_1C'\) et \(CA\) se coupent en un point \(Z\) du prolongement de \(CA\) au-delà du point \(A\), donc \(\frac{[A_1B_1C']}{[A_1B'C']} = \frac{B_1Z}{B'Z} > 1\). Enfin, comme \(A_1A' \parallel B'C'\), on a \([A_1B_1C_1] > [A_1B_1C'] > [A_1B'C'] = [A'B'C'] = \frac{1}{4}[ABC]\).

Maintenant, de \([A_1B_1C_1] + [AC_1B_1] + [BA_1C_1] + [CB_1A_1] = [ABC]\), on tire que l'un des triangles restants \(AC_1B_1\), \(BA_1C_1\), \(CB_1A_1\) a une aire inférieure à \(\frac{1}{4}[ABC]\), donc inférieure à \([A_1B_1C_1]\). \(\square\)

Revenons au problème. On dit que le triangle \(A_1B_1C_1\) est petit si \([A_1B_1C_1]\) est inférieure à chacune des aires \([BB_1A_1]\) et \([CC_1B_1]\) ; sinon, ce triangle est grand (on définit de même cette notion pour les triangles \(B_1C_1D_1\), \(C_1D_1A_1\), \(D_1A_1B_1\)). Si les deux triangles \(A_1B_1C_1\) et \(C_1D_1A_1\) sont grands, alors \([A_1B_1C_1]\) n'est pas inférieure à l'aire d'un certain triangle du bord, et \([C_1D_1A_1]\) n'est pas inférieure à l'aire d'un autre ; donc \(S_1 = [A_1B_1C_1] + [C_1D_1A_1] \geq S\). Il en est de même pour la paire \(B_1C_1D_1\) et \(D_1A_1B_1\). Il suffit donc de prouver que, dans l'une de ces paires, les deux triangles sont grands.

Supposons le contraire. Il y a alors un petit triangle dans chaque paire. Sans perte de généralité, supposons que les triangles \(A_1B_1C_1\) et \(D_1A_1B_1\) sont petits. On peut aussi supposer que \([A_1B_1C_1] \leq [D_1A_1B_1]\). Remarquons que, dans ce cas, la demi-droite \(D_1C_1\) coupe la droite \(BC\).

Considérons deux cas.

Figures 4 et 5

Cas 1. La demi-droite \(C_1D_1\) coupe la droite \(AB\) en un point \(K\). Soit \(L\) le point où la demi-droite \(D_1C_1\) coupe la droite \(BC\) (voir figure 4). On a alors \([A_1B_1C_1] < [CC_1B_1] < [LC_1B_1]\), \([A_1B_1C_1] < [BB_1A_1]\) (les deux parce que \([A_1B_1C_1]\) est petit), et \([A_1B_1C_1] \leq [D_1A_1B_1] < [AA_1D_1] < [KA_1D_1] < [KA_1C_1]\) (parce que le triangle \(D_1A_1B_1\) est petit). Cela contredit le lemme appliqué au triangle \(A_1B_1C_1\) inscrit dans \(LKB\).

Cas 2. La demi-droite \(C_1D_1\) ne coupe pas \(AB\). On choisit alors un point \(K\) « assez loin » sur la demi-droite \(BA\) tel que \([KA_1C_1] > [A_1B_1C_1]\), et tel que la demi-droite \(KC_1\) coupe la droite \(BC\) en un point \(L\) (voir figure 5). Comme la demi-droite \(C_1D_1\) ne coupe pas la droite \(AB\), les points \(A\) et \(D_1\) sont de part et d'autre de \(KL\) ; alors \(A\) et \(D\) sont aussi de part et d'autre, et \(C\) est du même côté que \(A\) et \(B\). On a alors de même \([A_1B_1C_1] < [CC_1B_1] < [LC_1B_1]\) et \([A_1B_1C_1] < [BB_1A_1]\), puisque le triangle \(A_1B_1C_1\) est petit. Cela (avec \([A_1B_1C_1] < [KA_1C_1]\)) contredit de nouveau le lemme. \(\blacksquare\)