Shortlist 2007, G8¶

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★★★☆ · Proposé par : Poland

Concepts : Homothétie · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires

Solution officielle : Shortlist officielle 2007 (avec solutions), p. 52 (page 53 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé¶

Point \(P\) lies on side \(AB\) of a convex quadrilateral \(ABCD\). Let \(\omega\) be the incircle of triangle \(CPD\), and let \(I\) be its incenter. Suppose that \(\omega\) is tangent to the incircles of triangles \(APD\) and \(BPC\) at points \(K\) and \(L\), respectively. Let lines \(AC\) and \(BD\) meet at \(E\), and let lines \(AK\) and \(BL\) meet at \(F\). Prove that points \(E\), \(I\), and \(F\) are collinear.

Indices : les idées clés

Cercle \(\Omega\) tangent à \(AB\) et aux demi-droites \(AD\), \(BC\), de centre \(J\) : on montre que \(E\) et \(F\) sont sur la droite \(IJ\).
Trois centres d'homothétie : l'homothétie négative de \(\omega\) vers \(\Omega\) se décompose via \(\omega_A\) (centre \(K\)) puis \(\Omega\) (centre \(A\)) ; son centre est sur \(AK\), de même sur \(BL\), donc c'est \(F\).
Quadrilatères circonscriptibles : \(APCD\) et \(BCDP\) le sont (tangentes égales) ; l'homothétie positive de \(\omega\) vers \(\Omega\) a son centre sur \(AC\) et sur \(BD\), donc en \(E\) ; ou bien (remarque) Desargues.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2007 (une solution et une remarque).

Solution¶

Soit \(\Omega\) le cercle tangent au segment \(AB\) et aux demi-droites \(AD\) et \(BC\) ; soit \(J\) son centre. Montrons que les points \(E\) et \(F\) sont sur la droite \(IJ\).

Figure (solution)

Notons \(\omega_A\) et \(\omega_B\) les cercles inscrits des triangles \(ADP\) et \(BCP\). Soit \(h_1\) l'homothétie de rapport négatif qui envoie \(\omega\) sur \(\Omega\). Considérons cette homothétie comme la composée de deux homothéties : l'une envoie \(\omega\) sur \(\omega_A\) (de rapport négatif et de centre \(K\)), et l'autre envoie \(\omega_A\) sur \(\Omega\) (de rapport positif et de centre \(A\)). On sait que, dans ce cas, les trois centres d'homothétie sont alignés (ce théorème est aussi appelé théorème des trois centres de similitude). Le centre de \(h_1\) est donc sur la droite \(AK\). De même, il est aussi sur \(BL\) ; ce centre est donc \(F\). Ainsi, \(F\) est sur la droite des centres de \(\omega\) et \(\Omega\), c'est-à-dire sur \(IJ\) (si \(I = J\), alors \(F = I\) aussi, et l'affirmation est évidente).

Considérons le quadrilatère \(APCD\) et marquons les segments de tangentes égaux à \(\omega\) et à \(\omega_A\) (voir la figure de gauche ci-dessous). Comme les cercles \(\omega\) et \(\omega_A\) ont un point de contact commun avec \(PD\), on voit facilement que \(AD + PC = AP + CD\). Le quadrilatère \(APCD\) est donc circonscriptible ; de même, le quadrilatère \(BCDP\) l'est aussi. Soient \(\Omega_A\) et \(\Omega_B\) leurs cercles inscrits respectifs.

Figures (quadrilatères circonscriptibles)

Considérons l'homothétie \(h_2\) de rapport positif qui envoie \(\omega\) sur \(\Omega\). Voyons \(h_2\) comme la composée de deux homothéties : l'une envoie \(\omega\) sur \(\Omega_A\) (de rapport positif et de centre \(C\)), l'autre envoie \(\Omega_A\) sur \(\Omega\) (de rapport positif et de centre \(A\)). Le centre de \(h_2\) est donc sur la droite \(AC\). Pour des raisons analogues, il est aussi sur \(BD\), donc ce centre est \(E\). Ainsi, \(E\) est aussi sur la droite des centres \(IJ\), et l'affirmation est prouvée. \(\blacksquare\)

Remarque¶

Dans les deux étapes principales de la solution, plusieurs raisonnements différents peuvent mener aux mêmes affirmations. Par exemple, on peut en grande partie utiliser le théorème de Desargues à la place du théorème des trois centres d'homothétie. Ainsi, si \(I_A\) et \(I_B\) sont les centres de \(\omega_A\) et \(\omega_B\), alors les droites \(I_AI_B\), \(KL\) et \(AB\) sont concourantes (par le théorème des trois centres de similitude appliqué à \(\omega\), \(\omega_A\) et \(\omega_B\)). Le théorème de Desargues, appliqué aux triangles \(AI_AK\) et \(BI_BL\), donne alors que les points \(J = AI_A \cap BI_B\), \(I = I_AK \cap I_BL\) et \(F = AK \cap BL\) sont alignés.

Pour la seconde étape, soient \(J_A\) et \(J_B\) les centres de \(\Omega_A\) et \(\Omega_B\). Les droites \(J_AJ_B\), \(AB\) et \(CD\) sont concourantes, puisqu'il s'agit des deux tangentes communes et de la droite des centres de \(\Omega_A\) et \(\Omega_B\). En appliquant le théorème de Desargues aux triangles \(AJ_AC\) et \(BJ_BD\), on obtient que les points \(J = AJ_A \cap BJ_B\), \(I = CJ_A \cap DJ_B\) et \(E = AC \cap BD\) sont alignés.