Shortlist 2007, N1

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Austria

Concepts : Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement

Solution officielle : Shortlist officielle 2007 (avec solutions), p. 55 (page 56 du PDF)

Énoncé

Find all pairs \((k, n)\) of positive integers for which \(7^k - 3^n\) divides \(k^4 + n^2\).

Indices : les idées clés

• Parité modulo \(4\) : \(k\) et \(n\) ont même parité ; s'ils sont impairs, \(k^4 + n^2 \equiv 2\) alors que \(4 \mid 7^k - 3^n\), donc tous deux sont pairs.
• Factorisation : avec \(k = 2a\), \(n = 2b\), on a \(2(7^a + 3^b) \mid 7^k - 3^n \mid 2(8a^4 + 2b^2)\), d'où \(7^a + 3^b \leq 8a^4 + 2b^2\).
• Croissance exponentielle : par récurrence, cette inégalité force \(a \leq 3\) ; une étude des trois cas (équation diophantienne) donne \((k, n) = (2, 4)\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2007 (une solution).

Solution

Réponse : \((2, 4)\).

Supposons qu'un couple \((k, n)\) vérifie la condition du problème. Comme \(7^k - 3^n\) est pair, \(k^4 + n^2\) l'est aussi, donc \(k\) et \(n\) ont la même parité. Si \(k\) et \(n\) sont impairs, alors \(k^4 + n^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod 4\), alors que \(7^k - 3^n \equiv 7 - 3 \equiv 0 \pmod 4\), donc \(k^4 + n^2\) ne peut pas être divisible par \(7^k - 3^n\). Donc \(k\) et \(n\) sont tous deux pairs.

Écrivons \(k = 2a\), \(n = 2b\). Alors \(7^k - 3^n = 7^{2a} - 3^{2b} = \frac{7^a - 3^b}{2} \cdot 2(7^a + 3^b)\), et les deux facteurs sont entiers. Donc \(2(7^a + 3^b) \mid 7^k - 3^n\) et \(7^k - 3^n \mid k^4 + n^2 = 2(8a^4 + 2b^2)\), d'où

\[7^a + 3^b \leq 8a^4 + 2b^2. \tag{1}\]

Montrons par récurrence que \(8a^4 < 7^a\) pour \(a \geq 4\), \(2b^2 < 3^b\) pour \(b \geq 1\) et \(2b^2 + 9 \leq 3^b\) pour \(b \geq 3\). Dans les cas initiaux \(a = 4\), \(b = 1\), \(b = 2\) et \(b = 3\), on a respectivement \(8 \cdot 4^4 = 2048 < 7^4 = 2401\), \(2 < 3\), \(2 \cdot 2^2 = 8 < 3^2 = 9\) et \(2 \cdot 3^2 + 9 = 3^3 = 27\).

Si \(8a^4 < 7^a\) (\(a \geq 4\)) et \(2b^2 + 9 \leq 3^b\) (\(b \geq 3\)), alors

\[8(a + 1)^4 = 8a^4\left(\frac{a + 1}{a}\right)^4 < 7^a\left(\frac{5}{4}\right)^4 = 7^a\frac{625}{256} < 7^{a+1}\]

et

\[2(b + 1)^2 + 9 < (2b^2 + 9)\left(\frac{b + 1}{b}\right)^2 \leq 3^b\left(\frac{4}{3}\right)^2 = 3^b\frac{16}{9} < 3^{b+1},\]

comme voulu.

Pour \(a \geq 4\), on obtient \(7^a + 3^b > 8a^4 + 2b^2\), et l'inégalité (1) ne peut pas être vérifiée. Donc \(a \leq 3\), et trois cas sont possibles.

Cas 1 : \(a = 1\). Alors \(k = 2\) et \(8 + 2b^2 \geq 7 + 3^b\), donc \(2b^2 + 1 \geq 3^b\). Ce n'est possible que si \(b \leq 2\). Si \(b = 1\), alors \(n = 2\) et \(\frac{k^4 + n^2}{7^k - 3^n} = \frac{2^4 + 2^2}{7^2 - 3^2} = \frac{1}{2}\), qui n'est pas entier. Si \(b = 2\), alors \(n = 4\) et \(\frac{k^4 + n^2}{7^k - 3^n} = \frac{2^4 + 4^2}{7^2 - 3^4} = -1\), donc \((k, n) = (2, 4)\) est une solution.

Cas 2 : \(a = 2\). Alors \(k = 4\) et \(k^4 + n^2 = 256 + 4b^2 \geq \lvert 7^4 - 3^n \rvert = \lvert 49 - 3^b \rvert \cdot (49 + 3^b)\). La plus petite valeur du premier facteur est \(22\), atteinte en \(b = 3\), donc \(128 + 2b^2 \geq 11(49 + 3^b)\), ce qui est impossible puisque \(3^b > 2b^2\).

Cas 3 : \(a = 3\). Alors \(k = 6\) et \(k^4 + n^2 = 1296 + 4b^2 \geq \lvert 7^6 - 3^n \rvert = \lvert 343 - 3^b \rvert \cdot (343 + 3^b)\). De même, \(\lvert 343 - 3^b \rvert \geq 100\), et l'on a \(324 + b^2 \geq 25(343 + 3^b)\), ce qui est de nouveau impossible.

Il existe donc une unique solution \((k, n) = (2, 4)\). \(\blacksquare\)