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Shortlist 2008, N1

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler

Solution officielle : Shortlist officielle 2008 (avec solutions), p. 43 (page 44 du PDF)

Énoncé

Let \(n\) be a positive integer and let \(p\) be a prime number. Prove that if \(a\), \(b\), \(c\) are integers (not necessarily positive) satisfying the equations

\[a^n + pb = b^n + pc = c^n + pa,\]

then \(a = b = c\).

Indices : les idées clés
  • Produit des quotients : si \(a\), \(b\), \(c\) sont distincts, \(\frac{a^n - b^n}{a - b} \cdot \frac{b^n - c^n}{b - c} \cdot \frac{c^n - a^n}{c - a} = -p^3\), donc \(n\) est pair (le membre de gauche serait positif sinon).
  • PGCD : avec \(a - b = du\), etc., \(\gcd(u, v, w) = 1\) et \(u + v + w = 0\) forcent \(p = 2\) et \(a - b = -2(b - c)\).
  • Parité : \((a^k + b^k)(a^k - b^k) = a - b\) impose \(a^k + b^k = \pm 1\), donc \(a\) et \(b\) de parités différentes, alors que \(a - b\) est pair.
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2008 (deux solutions et une remarque).

Solution 1

Si deux des nombres \(a\), \(b\), \(c\) sont égaux, il est immédiat que les trois le sont. On peut donc supposer \(a \neq b \neq c \neq a\). En soustrayant les équations, on obtient \(a^n - b^n = -p(b - c)\) et deux copies cycliques de cette équation, qui, multipliées, donnent

\[\frac{a^n - b^n}{a - b} \cdot \frac{b^n - c^n}{b - c} \cdot \frac{c^n - a^n}{c - a} = -p^3. \tag{1}\]

Si \(n\) est impair, alors les différences \(a^n - b^n\) et \(a - b\) ont le même signe et le produit du membre de gauche est strictement positif, alors que \(-p^3\) est strictement négatif. Donc \(n\) doit être pair.

Soit \(d\) le plus grand diviseur commun des trois différences \(a - b\), \(b - c\), \(c - a\), de sorte que \(a - b = du\), \(b - c = dv\), \(c - a = dw\) ; \(\gcd(u, v, w) = 1\), \(u + v + w = 0\).

De \(a^n - b^n = -p(b - c)\), on voit que \((a - b) \mid p(b - c)\), c'est-à-dire \(u \mid pv\) ; et de façon cyclique \(v \mid pw\), \(w \mid pu\). Comme \(\gcd(u, v, w) = 1\) et \(u + v + w = 0\), l'un au plus des nombres \(u\), \(v\), \(w\) peut être divisible par \(p\). Supposons que le nombre premier \(p\) ne divise aucun d'entre eux ; on obtient \(u \mid v\), \(v \mid w\), \(w \mid u\), d'où \(\lvert u \rvert = \lvert v \rvert = \lvert w \rvert = 1\) ; mais cela contredit \(u + v + w = 0\).

Donc \(p\) doit diviser exactement l'un de ces nombres. Supposons par exemple \(p \mid u\) et écrivons \(u = pu_1\). On obtient alors, comme précédemment, \(u_1 \mid v\), \(v \mid w\), \(w \mid u_1\), de sorte que \(\lvert u_1 \rvert = \lvert v \rvert = \lvert w \rvert = 1\). L'équation \(pu_1 + v + w = 0\) force le nombre premier \(p\) à être pair, c'est-à-dire \(p = 2\). Donc \(v + w = -2u_1 = \pm 2\), ce qui implique \(v = w\) \((= \pm 1)\) et \(u = -2v\). Par conséquent, \(a - b = -2(b - c)\).

Sachant que \(n\) est pair, disons \(n = 2k\), on réécrit l'équation \(a^n - b^n = -p(b - c)\) avec \(p = 2\) sous la forme

\[(a^k + b^k)(a^k - b^k) = -2(b - c) = a - b.\]

Le second facteur de gauche est divisible par \(a - b\), donc le premier facteur \((a^k + b^k)\) doit valoir \(\pm 1\). Alors exactement l'un des nombres \(a\) et \(b\) doit être impair ; or \(a - b = -2(b - c)\) est pair. Cette contradiction termine la preuve. \(\blacksquare\)

Solution 2

Le début est le même que dans la première solution. En supposant que \(a\), \(b\), \(c\) ne sont pas tous égaux, donc tous distincts, on obtient l'équation (1), avec la conclusion que \(n\) est pair. Écrivons \(n = 2k\).

Supposons \(p\) impair. Alors l'entier

\[\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1},\]

qui est un facteur de (1), doit aussi être impair. Cette somme de \(n = 2k\) termes n'est impaire que si \(a\) et \(b\) sont de parités différentes. La même conclusion valant pour \(b\), \(c\) et pour \(c\), \(a\), on obtient que \(a\), \(b\), \(c\), \(a\) alternent de parité, ce qui est évidemment impossible.

Donc \(p = 2\). Le système initial montre que \(a\), \(b\), \(c\) doivent être de même parité. On peut donc diviser (1) par \(p^3\), c'est-à-dire \(2^3\), pour obtenir le produit suivant de six facteurs entiers :

\[\frac{a^k + b^k}{2} \cdot \frac{a^k - b^k}{a - b} \cdot \frac{b^k + c^k}{2} \cdot \frac{b^k - c^k}{b - c} \cdot \frac{c^k + a^k}{2} \cdot \frac{c^k - a^k}{c - a} = -1. \tag{2}\]

Chacun des facteurs doit valoir \(\pm 1\). En particulier, \(a^k + b^k = \pm 2\). Si \(k\) est pair, cela devient \(a^k + b^k = 2\) et donne \(\lvert a \rvert = \lvert b \rvert = 1\), d'où \(a^k - b^k = 0\), ce qui contredit (2).

Soit maintenant \(k\) impair. Alors la somme \(a^k + b^k\), de valeur \(\pm 2\), a \(a + b\) pour facteur. Comme \(a\) et \(b\) sont de même parité, cela signifie que \(a + b = \pm 2\) ; et de façon cyclique, \(b + c = \pm 2\), \(c + a = \pm 2\). Dans deux de ces équations, les signes doivent coïncider, donc deux des nombres \(a\), \(b\), \(c\) sont égaux. C'est la contradiction voulue. \(\blacksquare\)

Remarque

Arrivé à l'équation (1), on est tenté d'écrire toutes les décompositions possibles de \(-p^3\) (cube d'un nombre premier) en produit de trois entiers. Cela mène à un examen fastidieux de nombreux cas, dont certains sont désagréables à traiter. On peut le faire seulement pour \(p = 2\), après avoir éliminé d'une façon ou d'une autre les nombres premiers impairs.

Cependant, la seconde solution montre que la condition « \(p\) premier » est beaucoup trop forte. Ce qui est réellement utilisé dans cette solution, c'est que \(p\) est soit un entier impair strictement positif, soit \(p = 2\).