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Shortlist 2009, A1

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Czech Republic

Concepts : Principe extrémal · Récurrence et constructions récursives

Solution officielle : Shortlist officielle 2009 (avec solutions), p. 12 (page 14 du PDF)

Énoncé

Find the largest possible integer \(k\), such that the following statement is true:

Let \(2009\) arbitrary non-degenerated triangles be given. In every triangle the three sides are colored, such that one is blue, one is red and one is white. Now, for every color separately, let us sort the lengths of the sides. We obtain

\[b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_{2009} \quad \text{the lengths of the blue sides},\]
\[r_1 \leq r_2 \leq \ldots \leq r_{2009} \quad \text{the lengths of the red sides},\]
\[\text{and} \quad w_1 \leq w_2 \leq \ldots \leq w_{2009} \quad \text{the lengths of the white sides}.\]

Then there exist \(k\) indices \(j\) such that we can form a non-degenerated triangle with side lengths \(b_j\), \(r_j\), \(w_j\).

Indices : les idées clés
  • Les plus grands : si \(w_{2009}\) est le plus grand des trois, il provient d'un triangle de côtés \(w, b, r\), et \(b_{2009} + r_{2009} \geq b + r > w = w_{2009}\).
  • Donc \(k \geq 1\) pour n'importe quels triangles : l'indice \(2009\) convient toujours.
  • Contre-exemple : des triangles de côtés \((2j, j, j + 1)\) pour \(j \leq 2007\), complétés astucieusement, donnent \(w_j + r_j = b_j\) pour tout \(j \leq 2008\).
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2009 (une solution).

Réponse : \(k = 1\).

Solution

Montrons que le plus grand nombre possible \(k\) d'indices vérifiant la condition est \(1\).

Prouvons d'abord que \(b_{2009}\), \(r_{2009}\), \(w_{2009}\) sont toujours les longueurs des côtés d'un triangle. Sans perte de généralité, on peut supposer \(w_{2009} \geq r_{2009} \geq b_{2009}\). Montrons que l'inégalité \(b_{2009} + r_{2009} > w_{2009}\) est vraie. Il existe évidemment un triangle de côtés blanc, bleu et rouge de longueurs \(w\), \(b\), \(r\), tel que \(w_{2009} = w\). D'après les conditions du problème, on a \(b + r > w\), \(b_{2009} \geq b\) et \(r_{2009} \geq r\). De ces inégalités, on tire

\[b_{2009} + r_{2009} \geq b + r > w = w_{2009}.\]

Décrivons ensuite une suite de triangles pour laquelle \(w_j\), \(b_j\), \(r_j\) avec \(j < 2009\) ne sont pas les longueurs des côtés d'un triangle. Définissons la suite de triangles \(\Delta_j\), \(j = 1, 2, \ldots, 2009\), où \(\Delta_j\) a

  • un côté bleu de longueur \(2j\),
  • un côté rouge de longueur \(j\) pour tout \(j \leq 2008\), et \(4018\) pour \(j = 2009\),
  • et un côté blanc de longueur \(j + 1\) pour tout \(j \leq 2007\), \(4018\) pour \(j = 2008\) et \(1\) pour \(j = 2009\).

Comme

\[\begin{aligned} (j + 1) + j > 2j &\geq j + 1 > j, && \text{si } j \leq 2007, \\ 2j + j > 4018 > 2j &> j, && \text{si } j = 2008, \\ 4018 + 1 > 2j &= 4018 > 1, && \text{si } j = 2009, \end{aligned}\]

une telle suite de triangles existe. De plus, \(w_j = j\), \(r_j = j\) et \(b_j = 2j\) pour \(1 \leq j \leq 2008\). Alors

\[w_j + r_j = j + j = 2j = b_j,\]

c'est-à-dire que \(b_j\), \(r_j\) et \(w_j\) ne sont pas les longueurs des côtés d'un triangle pour \(1 \leq j \leq 2008\). \(\blacksquare\)