Shortlist 2010, G3

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★★☆☆ · Proposé par : Armenia

Concepts : Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique

Solution officielle : Shortlist officielle 2010 (avec solutions), p. 50 (page 51 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé

Let \(A_1A_2 \ldots A_n\) be a convex polygon. Point \(P\) inside this polygon is chosen so that its projections \(P_1, \ldots, P_n\) onto lines \(A_1A_2, \ldots, A_nA_1\) respectively lie on the sides of the polygon. Prove that for arbitrary points \(X_1, \ldots, X_n\) on sides \(A_1A_2, \ldots, A_nA_1\) respectively,

\[\max\left\{\frac{X_1X_2}{P_1P_2}, \ldots, \frac{X_nX_1}{P_nP_1}\right\} \geq 1.\]

Indices : les idées clés

• Lemme de recouvrement : un point \(Q\) intérieur au polygone est dans l'un des cercles \(X_iA_{i+1}X_{i+1}\), car la somme des angles \(\angle X_iA_{i+1}X_{i+1} + \angle X_iQX_{i+1}\) vaut \(n\pi\) (chasse aux angles).
• Loi des sinus : \(P_iP_{i+1} = A_{i+1}P \sin \angle A_{i+1} \leq 2R \sin \angle A_{i+1} = X_iX_{i+1}\) quand \(P\) est dans le cercle \(X_iA_{i+1}X_{i+1}\) de rayon \(R\).
• Trigonométrie (solution 2) : une version renforcée avec \(\cos \alpha_i\), et un produit télescopique de rapports \(\frac{PP_i}{PP_{i+1}} = \frac{\cos \beta_{i+1}}{\cos \gamma_i}\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2010 (deux solutions).

Solution 1

Posons \(P_{n+1} = P_1\), \(X_{n+1} = X_1\), \(A_{n+1} = A_1\).

Lemme. Soit \(Q\) un point intérieur à \(A_1A_2 \ldots A_n\). Alors il est contenu dans l'un au moins des cercles circonscrits aux triangles \(X_1A_2X_2, \ldots, X_nA_1X_1\).

Preuve. Si \(Q\) est dans l'un des triangles \(X_1A_2X_2, \ldots, X_nA_1X_1\), l'affirmation est évidente. Sinon, \(Q\) est à l'intérieur du polygone \(X_1X_2 \ldots X_n\) (voir figure 1). On a alors

\[\begin{aligned} &(\angle X_1A_2X_2 + \angle X_1QX_2) + \cdots + (\angle X_nA_1X_1 + \angle X_nQX_1) \\ &\quad = (\angle X_1A_2X_2 + \cdots + \angle X_nA_1X_1) + (\angle X_1QX_2 + \cdots + \angle X_nQX_1) = (n - 2)\pi + 2\pi = n\pi, \end{aligned}\]

donc il existe un indice \(i\) tel que \(\angle X_iA_{i+1}X_{i+1} + \angle X_iQX_{i+1} \geq \frac{\pi n}{n} = \pi\). Comme le quadrilatère \(QX_iA_{i+1}X_{i+1}\) est convexe, cela signifie exactement que \(Q\) est dans le cercle circonscrit à \(X_iA_{i+1}X_{i+1}\), comme voulu. \(\square\)

Passons à la solution. D'après le lemme, \(P\) est dans le cercle circonscrit au triangle \(X_iA_{i+1}X_{i+1}\) pour un certain \(i\). Considérons les cercles circonscrits \(\omega\) et \(\Omega\) des triangles \(P_iA_{i+1}P_{i+1}\) et \(X_iA_{i+1}X_{i+1}\) respectivement (voir figure 2) ; soient \(r\) et \(R\) leurs rayons. On a alors \(2r = A_{i+1}P \leq 2R\) (puisque \(P\) est dans \(\Omega\)), donc

\[P_iP_{i+1} = 2r\sin \angle P_iA_{i+1}P_{i+1} \leq 2R\sin \angle X_iA_{i+1}X_{i+1} = X_iX_{i+1},\]

ce qu'il fallait démontrer. \(\blacksquare\)

Solution 2

Comme dans la solution 1, tous les indices de points sont considérés modulo \(n\).

Nous allons prouver une inégalité un peu plus forte, à savoir

\[\max\left\{\frac{X_1X_2}{P_1P_2}\cos \alpha_1, \ldots, \frac{X_nX_1}{P_nP_1}\cos \alpha_n\right\} \geq 1,\]

où \(\alpha_i\) (\(1 \leq i \leq n\)) est l'angle entre les droites \(X_iX_{i+1}\) et \(P_iP_{i+1}\). Posons \(\beta_i = \angle A_iP_iP_{i-1}\) et \(\gamma_i = \angle A_{i+1}P_iP_{i+1}\) pour tout \(1 \leq i \leq n\).

Supposons que, pour un certain \(1 \leq i \leq n\), le point \(X_i\) soit sur le segment \(A_iP_i\) et le point \(X_{i+1}\) sur le segment \(P_{i+1}A_{i+2}\). Alors la projection du segment \(X_iX_{i+1}\) sur la droite \(P_iP_{i+1}\) contient le segment \(P_iP_{i+1}\), puisque \(\gamma_i\) et \(\beta_{i+1}\) sont aigus (voir figure 3). Donc \(X_iX_{i+1}\cos \alpha_i \geq P_iP_{i+1}\), et dans ce cas l'énoncé est prouvé.

Le seul cas restant est donc celui où le point \(X_i\) est sur le segment \(P_iA_{i+1}\) pour tout \(1 \leq i \leq n\) (le cas où chaque \(X_i\) est sur le segment \(A_iP_i\) est complètement analogue).

Supposons maintenant, au contraire, que l'inégalité

\[X_iX_{i+1}\cos \alpha_i < P_iP_{i+1} \tag{1}\]

soit vraie pour tout \(1 \leq i \leq n\). Soient \(Y_i\) et \(Y'_{i+1}\) les projections de \(X_i\) et \(X_{i+1}\) sur \(P_iP_{i+1}\). L'inégalité (1) signifie exactement que \(Y_iY'_{i+1} < P_iP_{i+1}\), soit \(P_iY_i > P_{i+1}Y'_{i+1}\) (là encore parce que \(\gamma_i\) et \(\beta_{i+1}\) sont aigus ; voir figure 4). On a donc

\[X_iP_i\cos \gamma_i > X_{i+1}P_{i+1}\cos \beta_{i+1}, \qquad 1 \leq i \leq n.\]

En multipliant ces inégalités, on obtient

\[\cos \gamma_1 \cos \gamma_2 \cdots \cos \gamma_n > \cos \beta_1 \cos \beta_2 \cdots \cos \beta_n. \tag{2}\]

D'autre part, la loi des sinus appliquée au triangle \(PP_iP_{i+1}\) donne

\[\frac{PP_i}{PP_{i+1}} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta_{i+1}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \gamma_i\right)} = \frac{\cos \beta_{i+1}}{\cos \gamma_i}.\]

En multipliant ces égalités, on obtient

\[1 = \frac{\cos \beta_2}{\cos \gamma_1} \cdot \frac{\cos \beta_3}{\cos \gamma_2} \cdots \frac{\cos \beta_1}{\cos \gamma_n},\]

ce qui contredit (2). \(\blacksquare\)