Shortlist 2011, A3

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Équations fonctionnelles : substitutions, injectivité, surjectivité · Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation

Solution officielle : Shortlist officielle 2011 (avec solutions), p. 16 (page 17 du PDF)

Énoncé

Determine all pairs \((f, g)\) of functions from the set of real numbers to itself that satisfy

\[g(f(x + y)) = f(x) + (2x + y) g(y)\]

for all real numbers \(x\) and \(y\).

Indices : les idées clés

• Substitutions : \(y = -2x\) donne \(g(f(-x)) = f(x)\), d'où \(f(-a) = f(-b) + (a - b)g(a + b)\).
• Somme cyclique : en sommant trois telles relations, \((y - x)g(z) + (z - y)g(x) + (x - z)g(y) = 0\) : trois points du graphe de \(g\) sont toujours alignés, donc \(g\) est affine.
• Identification des coefficients : avec \(g(x) = Ax + B\), on obtient \(f(y) = Ay^2 - By + C\), puis \(A^2 = A\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2011 (une solution et une remarque).

Réponse : soit \(f\) et \(g\) sont toutes deux identiquement nulles, soit il existe un réel \(C\) tel que \(f(x) = x^2 + C\) et \(g(x) = x\) pour tout réel \(x\).

Solution

Toutes ces paires vérifient clairement l'équation ; il suffit de montrer qu'il n'y en a pas d'autre. En substituant \(-2x\) à \(y\), on obtient

\[g(f(-x)) = f(x). \tag{1}\]

En appliquant cette égalité à \(-x - y\) au lieu de \(x\), on obtient

\[f(-x - y) = g(f(x + y)) = f(x) + (2x + y)g(y). \tag{2}\]

Pour deux réels quelconques \(a\) et \(b\), en posant \(x = -b\) et \(y = a + b\), on obtient

\[f(-a) = f(-b) + (a - b)g(a + b).\]

Si \(c\) est un autre réel quelconque, on a de même

\[f(-b) = f(-c) + (b - c)g(b + c) \quad \text{et} \quad f(-c) = f(-a) + (c - a)g(c + a).\]

En additionnant ces trois égalités, on obtient

\[(a - b)g(a + b) + (b - c)g(b + c) + (c - a)g(a + c) = 0.\]

Pour trois réels quelconques \(x\), \(y\), \(z\), on peut trouver trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(x = b + c\), \(y = c + a\) et \(z = a + b\), de sorte que

\[(y - x)g(z) + (z - y)g(x) + (x - z)g(y) = 0.\]

Cela signifie que les trois points \((x, g(x))\), \((y, g(y))\) et \((z, g(z))\) du graphe de \(g\) sont alignés. Ce graphe est donc une droite : \(g\) est constante ou affine.

Écrivons \(g(x) = Ax + B\) avec \(A\) et \(B\) réels. En substituant \((0, -y)\) à \((x, y)\) dans (2) et en posant \(C = f(0)\), on obtient \(f(y) = Ay^2 - By + C\). En comparant les coefficients de \(x^2\) dans (1), on voit que \(A^2 = A\), donc \(A = 0\) ou \(A = 1\).

Si \(A = 0\), (1) devient \(B = -Bx + C\), donc \(B = C = 0\), ce qui donne la première des deux solutions.

Supposons maintenant \(A = 1\). Alors (1) devient \(x^2 - Bx + C + B = x^2 - Bx + C\), donc \(B = 0\). Ainsi \(g(x) = x\) et \(f(x) = x^2 + C\), ce qui est la seconde solution. \(\blacksquare\)

Remarque

Voici une autre façon de montrer que \(g\) est constante ou affine. En échangeant \(x\) et \(y\) dans l'équation et en soustrayant, on obtient

\[f(x) - f(y) = (2y + x)g(x) - (2x + y)g(y).\]

En substituant \((x, 0)\), \((1, x)\) et \((0, 1)\) à \((x, y)\), on obtient

\[f(x) - f(0) = xg(x) - 2xg(0), \qquad f(1) - f(x) = (2x + 1)g(1) - (x + 2)g(x), \qquad f(0) - f(1) = 2g(0) - g(1).\]

En additionnant ces trois égalités et en divisant par \(2\), on obtient

\[g(x) = x\big(g(1) - g(0)\big) + g(0).\]

Cela prouve que \(g\) est constante ou affine.