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Shortlist 2012, G5

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★★☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Puissance d'un point et axe radical

Solution officielle : Shortlist officielle 2012 (avec solutions), p. 33 (page 33 du PDF)

Problème 5 de l'OIM 2012

Ce problème a été choisi parmi ceux de la shortlist pour l'épreuve de l'OIM 2012, où il était le problème 5 (jour 2).

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé

Let \(ABC\) be a triangle with \(\angle BCA = 90^\circ\), and let \(C_0\) be the foot of the altitude from \(C\). Choose a point \(X\) in the interior of the segment \(CC_0\), and let \(K\), \(L\) be the points on the segments \(AX\), \(BX\) for which \(BK = BC\) and \(AL = AC\) respectively. Denote by \(M\) the intersection of \(AL\) and \(BK\). Show that \(MK = ML\).

Indices : les idées clés
  • Deux cercles : \(\omega_1\) de centre \(A\) passant par \(L\) et \(\omega_2\) de centre \(B\) passant par \(K\) passent tous deux par \(C\) et par son symétrique \(C'\) par rapport à \(AB\) ; \(AC\) est tangente à \(\omega_2\) et \(BC\) à \(\omega_1\).
  • Puissance de \(X\) : \(XK \cdot XK_1 = XC \cdot XC' = XL \cdot XL_1\), donc \(K_1\), \(L\), \(K\), \(L_1\) sont sur un cercle \(\omega_3\).
  • Tangentes : \(AL^2 = AC^2 = AK \cdot AK_1\) montre que \(AL\) est tangente à \(\omega_3\), de même \(BK\) ; donc \(MK\) et \(ML\) sont deux tangentes issues de \(M\).
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2012 (une solution).

Solution

Soit \(C'\) le symétrique de \(C\) par rapport à la droite \(AB\), et \(\omega_1\), \(\omega_2\) les cercles de centres \(A\) et \(B\) passant respectivement par \(L\) et \(K\). Comme \(AC' = AC = AL\) et \(BC' = BC = BK\), les cercles \(\omega_1\) et \(\omega_2\) passent par \(C\) et \(C'\). Comme \(\angle BCA = 90^\circ\), \(AC\) est tangente à \(\omega_2\) en \(C\), et \(BC\) est tangente à \(\omega_1\) en \(C\). Soit \(K_1 \neq K\) le second point d'intersection de \(AX\) et \(\omega_2\), et \(L_1 \neq L\) le second point d'intersection de \(BX\) et \(\omega_1\).

Par la puissance de \(X\) par rapport à \(\omega_2\) et \(\omega_1\),

\[XK \cdot XK_1 = XC \cdot XC' = XL \cdot XL_1,\]

donc les points \(K_1\), \(L\), \(K\), \(L_1\) sont sur un même cercle \(\omega_3\).

Figure (solution)

La puissance de \(A\) par rapport à \(\omega_2\) donne

\[AL^2 = AC^2 = AK \cdot AK_1,\]

ce qui montre que \(AL\) est tangente à \(\omega_3\) en \(L\). De même, \(BK\) est tangente à \(\omega_3\) en \(K\). Donc \(MK\) et \(ML\) sont les deux tangentes à \(\omega_3\) issues de \(M\), et \(MK = ML\). \(\blacksquare\)