Shortlist 2012, N2

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Valuations p-adiques et lemme LTE

Solution officielle : Shortlist officielle 2012 (avec solutions), p. 43 (page 43 du PDF)

Énoncé

Find all triples \((x, y, z)\) of positive integers such that \(x \leq y \leq z\) and

\[x^3(y^3 + z^3) = 2012(xyz + 2).\]

Indices : les idées clés

• Valuations : \(x\) divise \(2 \cdot 2012 = 2^3 \cdot 503\) ; en comparant les puissances de \(503\) et de \(2\), on obtient \(x = 1\) ou \(x = 2\).
• Fermat : \(503 = 3 \cdot 167 + 2\) divise \(y^3 + z^3\), et l'on en déduit \(503 \mid y + z\).
• Encadrement : avec \(y + z = 503k\), les équations deviennent \(k(y - z)^2 + (k - 4)yz = 8\) ou \(k(y - z)^2 + (k - 1)yz = 1\), ce qui laisse très peu de cas.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2012 (une solution).

Solution

Réponse : \((2, 251, 252)\).

Remarquons d'abord que \(x\) divise \(2012 \cdot 2 = 2^3 \cdot 503\). Si \(503 \mid x\), le membre de gauche est divisible par \(503^3\), donc \(503^2 \mid xyz + 2\), ce qui est faux puisque \(503 \mid x\). Donc \(x = 2^m\) avec \(m \in \{0, 1, 2, 3\}\). Si \(m \geq 2\), alors \(2^6 \mid 2012(xyz + 2)\). Or les plus grandes puissances de \(2\) qui divisent \(2012\) et \(xyz + 2 = 2^m yz + 2\) sont respectivement \(2^2\) et \(2^1\). Donc \(x = 1\) ou \(x = 2\), ce qui donne les deux équations

\[y^3 + z^3 = 2012(yz + 2) \qquad \text{et} \qquad y^3 + z^3 = 503(yz + 1).\]

Dans les deux cas, le nombre premier \(503 = 3 \cdot 167 + 2\) divise \(y^3 + z^3\). Montrons que \(503 \mid y + z\). C'est clair si \(503 \mid y\) ; supposons donc \(503 \nmid y\) et \(503 \nmid z\). Par le petit théorème de Fermat, \(y^{502} \equiv z^{502} \pmod{503}\). D'autre part, \(y^3 \equiv -z^3 \pmod{503}\) implique \(y^{3 \cdot 167} \equiv -z^{3 \cdot 167} \pmod{503}\), c'est-à-dire \(y^{501} \equiv -z^{501} \pmod{503}\). Il s'ensuit que \(y \equiv -z \pmod{503}\), comme annoncé.

Donc \(y + z = 503k\) avec \(k \geq 1\). Comme \(y^3 + z^3 = (y + z)\big((y - z)^2 + yz\big)\), les deux équations deviennent

\[k(y - z)^2 + (k - 4)yz = 8, \tag{1}\]

\[k(y - z)^2 + (k - 1)yz = 1. \tag{2}\]

Dans (1), on a \((k - 4)yz \leq 8\), ce qui implique \(k \leq 4\). En effet, si \(k > 4\), alors \(1 \leq (k - 4)yz \leq 8\), donc \(y \leq 8\) et \(z \leq 8\), ce qui est impossible puisque \(y + z = 503k \geq 503\). Ensuite, \(y^3 + z^3\) est pair dans la première équation, donc \(y + z = 503k\) aussi, et \(k\) est pair. Donc \(k = 2\) ou \(k = 4\). Clairement, (1) n'a pas de solution entière pour \(k = 4\). Si \(k = 2\), (1) s'écrit \((y + z)^2 - 5yz = 4\). Comme \(y + z = 503k = 503 \cdot 2\), cela donne \(5yz = 503^2 \cdot 2^2 - 4\). Mais \(503^2 \cdot 2^2 - 4\) n'est pas multiple de \(5\). Donc (1) n'a pas de solution entière.

L'équation (2) implique \(0 \leq (k - 1)yz \leq 1\), donc \(k = 1\) ou \(k = 2\). De plus, \(0 \leq k(y - z)^2 \leq 1\), donc \(k = 2\) seulement si \(y = z\). Mais alors \(y = z = 1\), ce qui est faux puisque \(y + z \geq 503\). Donc \(k = 1\), et (2) s'écrit \((y - z)^2 = 1\), d'où \(z - y = \lvert y - z \rvert = 1\). Avec \(k = 1\) et \(y + z = 503k\), cela donne \(y = 251\), \(z = 252\).

En résumé, le triplet \((2, 251, 252)\) est la seule solution. \(\blacksquare\)