Shortlist 2012, N4

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Équations diophantiennes : factorisation et encadrement

Solution officielle : Shortlist officielle 2012 (avec solutions), p. 45 (page 45 du PDF)

Énoncé

An integer \(a\) is called friendly if the equation \((m^2 + n)(n^2 + m) = a(m - n)^3\) has a solution over the positive integers.

a) Prove that there are at least \(500\) friendly integers in the set \(\{1, 2, \ldots, 2012\}\).

b) Decide whether \(a = 2\) is friendly.

Indices : les idées clés

• Une famille explicite : \(m = 2k - 1\), \(n = k - 1\) donnent \(a = 4k - 3\), d'où \(502\) entiers amicaux.
• Différence de carrés : pour \(a = 2\), l'équation devient \((m^2 + n + n^2 + m)^2 = (m - n)^2\big(8(m - n) + (m + n - 1)^2\big)\), donc \(8(m - n) + (m + n - 1)^2\) est un carré.
• Encadrement : ce carré vaut \((m + n - 1 + 2s)^2\) avec \(s = 1\), d'où \(m = 3n\), et les tailles des deux membres sont incompatibles.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2012 (une solution et une remarque).

Solution

a) Tout \(a\) de la forme \(a = 4k - 3\) avec \(k \geq 2\) est amical. En effet, les nombres \(m = 2k - 1 > 0\) et \(n = k - 1 > 0\) vérifient l'équation avec \(a = 4k - 3\) :

\[(m^2 + n)(n^2 + m) = \big((2k - 1)^2 + k - 1\big)\big((k - 1)^2 + 2k - 1\big) = (4k - 3)k^3 = a(m - n)^3.\]

Donc \(5, 9, \ldots, 2009\) sont amicaux, et \(\{1, 2, \ldots, 2012\}\) contient au moins \(502\) entiers amicaux.

b) Montrons que \(a = 2\) n'est pas amical. Considérons l'équation avec \(a = 2\) et écrivons son membre de gauche comme une différence de carrés :

\[\frac{1}{4}\Big[(m^2 + n + n^2 + m)^2 - (m^2 + n - n^2 - m)^2\Big] = 2(m - n)^3.\]

Comme \(m^2 + n - n^2 - m = (m - n)(m + n - 1)\), on peut reformuler l'équation en

\[(m^2 + n + n^2 + m)^2 = (m - n)^2\big(8(m - n) + (m + n - 1)^2\big).\]

Il s'ensuit que \(8(m - n) + (m + n - 1)^2\) est un carré parfait. Clairement \(m > n\), donc il existe un entier \(s \geq 1\) tel que

\[(m + n - 1 + 2s)^2 = 8(m - n) + (m + n - 1)^2.\]

En soustrayant les carrés, on obtient \(s(m + n - 1 + s) = 2(m - n)\). Comme \(m + n - 1 + s > m - n\), on en déduit \(s < 2\). La seule possibilité est donc \(s = 1\) et \(m = 3n\). Mais alors le membre de gauche de l'équation (avec \(a = 2\)) est supérieur à \(m^3 = 27n^3\), alors que le membre de droite vaut \(16n^3\). Cette contradiction prouve que \(a = 2\) n'est pas amical. \(\blacksquare\)

Remarque

Une recherche par ordinateur montre qu'il y a \(561\) entiers amicaux dans \(\{1, 2, \ldots, 2012\}\).