Shortlist 2014, N2

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : U.S.A.

Concepts : Équations diophantiennes : factorisation et encadrement

Solution officielle : Shortlist officielle 2014 (avec solutions), p. 71 (page 72 du PDF)

Énoncé

Determine all pairs \((x, y)\) of positive integers such that

\[\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = \lvert x - y \rvert + 1. \tag{1}\]

Indices : les idées clés

• Changement de variable : avec \(x > y\) et \(n = x - y\), l'équation élevée au cube devient \(y^2 + yn = n^3 - 4n^2 + 3n + 1\).
• Forme canonique : en complétant le carré, \((2y + n)^2 = (n - 2)^2(4n + 1)\), donc \(4n + 1\) est un carré impair \((2m + 1)^2\), soit \(n = m^2 + m\).
• Conclure : \(2y + m^2 + m = 2m^3 + 3m^2 - 3m - 2\), d'où \(y\) puis \(x\) en fonction de \(m \geq 2\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2014 (une solution et une remarque).

Réponse : soit \((x, y) = (1, 1)\), soit \(\{x, y\} = \{m^3 + m^2 - 2m - 1, \; m^3 + 2m^2 - m - 1\}\) pour un entier \(m \geq 2\).

Solution

Soit \((x, y)\) un couple d'entiers strictement positifs solution de (1). On va montrer qu'il figure dans la liste ci-dessus. La réciproque (tous ces couples vérifient (1)) peut se vérifier directement par un calcul un peu laborieux, ou en remontant les équations qui suivent.

Si \(x = y\), l'équation se réduit à \(x^{2/3} = 1\), c'est-à-dire \(x = 1\) : c'est la première solution.

Pour trouver les solutions avec \(x \neq y\), on peut supposer \(x > y\) par symétrie. L'entier \(n = x - y\) est alors strictement positif, et (1) s'écrit

\[\sqrt[3]{7(y + n)^2 - 13(y + n)y + 7y^2} = n + 1.\]

En élevant au cube et en simplifiant, on obtient

\[y^2 + yn = n^3 - 4n^2 + 3n + 1.\]

Pour compléter le carré à gauche, on multiplie par \(4\) et l'on ajoute \(n^2\) :

\[(2y + n)^2 = 4n^3 - 15n^2 + 12n + 4 = (n - 2)^2(4n + 1).\]

Cela montre que les cas \(n = 1\) et \(n = 2\) sont impossibles, donc \(n > 2\), et que \(4n + 1\) est le carré du rationnel \(\frac{2y + n}{n - 2}\). C'est donc un carré parfait, et comme il est impair, il existe un entier \(m \geq 0\) tel que \(4n + 1 = (2m + 1)^2\), c'est-à-dire

\[n = m^2 + m.\]

Comme \(n > 2\), on a \(m \geq 2\). En reportant cette valeur de \(n\) dans l'équation précédente, on obtient

\[(2y + m^2 + m)^2 = (m^2 + m - 2)^2(2m + 1)^2 = (2m^3 + 3m^2 - 3m - 2)^2.\]

En prenant les racines carrées, et comme \(2m^3 + 3m^2 - 3m - 2 = (m - 1)(2m^2 + 5m + 2) > 0\), on obtient \(2y + m^2 + m = 2m^3 + 3m^2 - 3m - 2\), ce qui donne

\[y = m^3 + m^2 - 2m - 1.\]

Comme \(m \geq 2\), \(y = (m^3 - 1) + (m - 2)m\) est bien strictement positif. Avec \(x = y + n = y + m^2 + m\), on obtient aussi

\[x = m^3 + 2m^2 - m - 1,\]

qui est également strictement positif. \(\blacksquare\)

Remarque

On pourrait aussi demander tous les couples \((x, y)\) d'entiers, pas nécessairement positifs, solutions de (1). La réponse est alors un peu plus jolie : les solutions sont décrites par

\[\{x, y\} = \{m^3 + m^2 - 2m - 1, \; m^3 + 2m^2 - m - 1\},\]

où \(m\) parcourt \(\mathbb{Z}\). On le montre essentiellement avec les mêmes arguments. Enfin, le couple \((x, y) = (1, 1)\), qui semble isolé ci-dessus, correspond à \(m = -1\).