Shortlist 2016, A2¶

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Solution officielle : Shortlist officielle 2016 (avec solutions), p. 13 (page 16 du PDF)

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Énoncé¶

Find the smallest real constant \(C\) such that for any positive real numbers \(a_1, a_2, a_3, a_4\) and \(a_5\) (not necessarily distinct), one can always choose distinct subscripts \(i\), \(j\), \(k\) and \(l\) such that

\[\left| \frac{a_i}{a_j} - \frac{a_k}{a_l} \right| \leq C.\]

Indices : les idées clés

Ordonner les nombres : \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_5\), puis choisir cinq fractions dans \(]0, 1]\) disposées « en cycle » de sorte que deux fractions consécutives utilisent quatre indices distincts.
Principe des tiroirs : trois des cinq fractions sont dans la même moitié \(\left]0, \frac{1}{2}\right]\) ou \(\left]\frac{1}{2}, 1\right]\), donc deux consécutives sont à distance au plus \(\frac{1}{2}\).
Exemple extrémal : \(1, 2, 2, 2, n\) avec \(n\) grand montre qu'on ne peut pas faire mieux que \(\frac{1}{2}\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2016 (une solution et une remarque).

Réponse. La plus petite constante est \(C = \frac{1}{2}\).

Solution 1¶

\(C = \frac{1}{2}\) convient. Soient des réels positifs, que l'on peut supposer ordonnés : \(a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5\). Considérons les cinq fractions

\[\frac{a_1}{a_2}, \quad \frac{a_3}{a_4}, \quad \frac{a_1}{a_5}, \quad \frac{a_2}{a_3}, \quad \frac{a_4}{a_5}. \tag{2}\]

Chacune est dans l'intervalle \(]0, 1]\). Par le principe des tiroirs, au moins trois d'entre elles sont toutes dans \(\left]0, \frac{1}{2}\right]\) ou toutes dans \(\left]\frac{1}{2}, 1\right]\). En particulier, deux termes consécutifs de la liste (2) sont dans un même intervalle de longueur \(\frac{1}{2}\) (on considère ici \(\frac{a_4}{a_5}\) et \(\frac{a_1}{a_2}\) comme consécutifs : la liste est vue comme cyclique, et parmi trois positions sur un cycle de longueur \(5\), deux sont voisines). Autrement dit, la différence de ces deux fractions est au plus \(\frac{1}{2}\) en valeur absolue. Comme les indices intervenant dans deux fractions consécutives de (2) sont distincts, on peut les prendre pour \(i, j, k, l\), et

\[\left| \frac{a_i}{a_j} - \frac{a_k}{a_l} \right| \leq \frac{1}{2}. \tag{1}\]

Donc \(C \leq \frac{1}{2}\).

On ne peut pas faire mieux. Considérons les nombres \(1, 2, 2, 2, n\), où \(n\) est un grand réel. Les fractions formées de deux de ces nombres (avec deux indices distincts) sont

\[\frac{1}{n}, \quad \frac{2}{n}, \quad \frac{1}{2}, \quad \frac{2}{2}, \quad \frac{2}{1}, \quad \frac{n}{2}, \quad \frac{n}{1}.\]

Comme les indices \(i, j, k, l\) sont distincts, \(\frac{1}{n}\) et \(\frac{2}{n}\) ne peuvent pas être choisies simultanément (elles utilisent toutes deux l'indice de \(n\)). La valeur minimale du membre de gauche de (1) est donc \(\frac{1}{2} - \frac{2}{n}\). Quand \(n\) tend vers l'infini, cette valeur tend vers \(\frac{1}{2}\), donc \(C\) ne peut pas être strictement inférieur à \(\frac{1}{2}\).

En conclusion, \(C = \frac{1}{2}\) est la plus petite constante possible. \(\blacksquare\)

Remarques¶

Remarque 1. La conclusion reste vraie si l'on impose que \(a_1, \ldots, a_5\) soient deux à deux distincts : dans la construction, il suffit de remplacer les \(2\) par des réels suffisamment proches de \(2\). Deux simplifications du problème sont possibles : (i) donner la réponse \(C = \frac{1}{2}\) aux candidats ; ou (ii) demander simplement de prouver (1) pour \(C = \frac{1}{2}\).