Shortlist 2016, G8¶
Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★★★★ · Proposé par : non indiqué
Concepts : Centres du triangle et lemmes classiques
Solution officielle : Shortlist officielle 2016 (avec solutions), p. 69 (page 72 du PDF)
Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.
Pas encore relu
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Énoncé¶
Let \(A_1\), \(B_1\) and \(C_1\) be points on sides \(BC\), \(CA\) and \(AB\) of an acute triangle \(ABC\) respectively, such that \(AA_1\), \(BB_1\) and \(CC_1\) are the internal angle bisectors of triangle \(ABC\). Let \(I\) be the incentre of triangle \(ABC\), and \(H\) be the orthocentre of triangle \(A_1B_1C_1\). Show that
Indices : les idées clés
- Pieds des bissectrices : le théorème de la bissectrice (\(BA_1 = \frac{ca}{b+c}\), etc.) montre que \(A_1B_1C_1\) est acutangle et situe \(H\) à l'intérieur du triangle \(ABI\) (et de \(ACC_1\)).
- Rotation de \(60^\circ\) (comme pour le point de Fermat) : elle transforme \(AI + BI + CI\) et \(AH + BH + CH\) en longueurs de lignes brisées \(B'I'IC\) et \(B'H'HC\).
- Périmètres de polygones convexes emboîtés : un polygone convexe contenu dans un autre a un périmètre plus petit.
Solutions
Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2016 (une solution).
Solution¶
Sans perte de généralité, supposons \(\alpha = \angle BAC \leq \beta = \angle CBA \leq \gamma = \angle ACB\). Notons \(a, b, c\) les longueurs \(BC\), \(CA\), \(AB\).
Le triangle \(A_1B_1C_1\) est acutangle. Choisissons les points \(D\) et \(E\) sur le côté \(BC\) tels que \(B_1D \parallel AB\) et que \(B_1E\) soit la bissectrice intérieure de \(\angle BB_1C\). Comme \(\angle B_1DB = 180^\circ - \beta\) est obtus, \(BB_1 > B_1D\). Par le théorème de la bissectrice (dans \(BB_1C\) et dans \(ABC\)) et Thalès,
Donc \(BE > BA_1\), et \(\frac{1}{2}\angle BB_1C = \angle BB_1E > \angle BB_1A_1\). De même, \(\frac{1}{2}\angle BB_1A > \angle BB_1C_1\). Il s'ensuit que
Par symétrie des rôles, le triangle \(A_1B_1C_1\) est acutangle.
Position de \(H\). Soit \(F\) l'intersection de \(BB_1\) et \(A_1C_1\). Comme \(\alpha \leq \gamma\), on a \(a \leq c\), d'où
et donc \(\angle BC_1A_1 \leq \angle BA_1C_1\). Comme \(BF\) est la bissectrice intérieure de \(\angle A_1BC_1\), cela donne \(\angle B_1FC_1 = \angle BFA_1 \leq 90^\circ\). Par conséquent, \(H\) (qui est sur la hauteur issue de \(B_1\) du triangle acutangle \(A_1B_1C_1\)) est du même côté de \(BB_1\) que \(C_1\) ; ainsi \(H\) est à l'intérieur du triangle \(BB_1C_1\). De même, à partir de \(\alpha \leq \beta\) et \(\beta \leq \gamma\), \(H\) est à l'intérieur des triangles \(CC_1B_1\) et \(AA_1C_1\). En particulier, \(H\) est à l'intérieur du triangle \(ABI\) et du triangle \(ACC_1\).
La rotation. Comme \(\alpha \leq \beta \leq \gamma\), on a \(\alpha \leq 60^\circ \leq \gamma\), donc \(\angle BIC \leq 120^\circ \leq \angle AIB\) (car \(\angle BIC = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}\) et \(\angle AIB = 90^\circ + \frac{\gamma}{2}\)).
Premier cas : \(\angle AIC \geq 120^\circ\). Faisons tourner \(B, I, H\) de \(60^\circ\) autour de \(A\), en \(B', I', H'\), de sorte que \(B'\) et \(C\) soient de part et d'autre de \(AB\) (voir la figure). Comme le triangle \(AI'I\) est équilatéral,
De même,
Comme \(\angle AII' = \angle AI'I = 60^\circ\), \(\angle AI'B' = \angle AIB \geq 120^\circ\) et \(\angle AIC \geq 120^\circ\), le quadrilatère \(B'I'IC\) est convexe et situé du même côté de \(B'C\) que \(A\).
Ensuite, comme \(H\) est à l'intérieur du triangle \(ACC_1\), \(H\) est à l'extérieur de \(B'I'IC\). Par ailleurs, \(H\) étant à l'intérieur du triangle \(ABI\), \(H'\) est à l'intérieur du triangle \(AB'I'\), donc \(H'\) est aussi à l'extérieur de \(B'I'IC\). Le quadrilatère convexe \(B'I'IC\) est donc contenu dans le quadrilatère \(B'H'HC\). Il s'ensuit que le périmètre de \(B'I'IC\) ne dépasse pas celui de \(B'H'HC\). Comme les deux quadrilatères ont le côté \(B'C\) en commun, (1) et (2) donnent
Second cas : \(\angle AIC < 120^\circ\). On fait tourner \(B, I, H\) de \(60^\circ\) autour de \(C\), en \(B', I', H'\), de sorte que \(B'\) et \(A\) soient de part et d'autre de \(BC\). La preuve est analogue au premier cas et donne encore l'inégalité voulue. \(\blacksquare\)