Shortlist 2018, A2¶
Domaine : Algèbre · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Slovakia
Concepts : Suites et récurrences · Sommes, télescopage et transformation d'Abel
Solution officielle : Shortlist officielle 2018 (avec solutions), p. 10 (page 12 du PDF)
Problème 2 de l'OIM 2018
Ce problème a été choisi parmi ceux de la shortlist pour l'épreuve de l'OIM 2018, où il était le problème 2 (jour 1).
Pas encore relu
Les concepts et la rédaction de cette page n'ont pas encore été vérifiés.
Énoncé¶
Find all positive integers \(n \geq 3\) for which there exist real numbers \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), \(a_{n+1} = a_1\), \(a_{n+2} = a_2\) such that
for all \(i = 1, 2, \ldots, n\).
Indices : les idées clés
- Suites et récurrences : prolonger la suite en une suite infinie périodique ; une suite périodique ne peut pas être strictement croissante (même le long d'une sous-suite).
- Étudier les signes (solution 1) : chaque terme positif est suivi d'exactement deux termes négatifs, ce qui force \(3 \mid n\).
- Sommer sur une période (solution 2) : la somme des relations \(a_{i+2}^2 - a_i a_{i+3} = a_{i+2} - a_i\) se simplifie en \(\sum (a_i - a_{i+3})^2 = 0\).
Solutions
Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2018 (deux solutions et une remarque).
Solution 1¶
Réponse. Les entiers \(n\) qui conviennent sont exactement les multiples de \(3\).
Pour simplifier, on prolonge \(a_1, \ldots, a_{n+2}\) en une suite infinie périodique de période \(n\) (\(n\) n'est pas forcément la plus petite période), qui vérifie \(a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}\) pour tout \(i\).
Construction. Si \(3 \mid n\), la suite \((a_1, a_2, \ldots) = (-1, -1, 2, -1, -1, 2, \ldots)\) convient : \((-1)(-1) + 1 = 2\), \((-1) \cdot 2 + 1 = -1\) et \(2 \cdot (-1) + 1 = -1\).
Réciproque. Montrons que dans toute suite périodique vérifiant la récurrence, chaque terme positif est suivi de deux termes négatifs, puis d'un terme positif. Il en résultera que \(n\) est divisible par \(3\).
Pas deux termes positifs consécutifs. Si \(a_i > 0\) et \(a_{i+1} > 0\), alors \(a_{i+2} = a_i a_{i+1} + 1 > 1\), donc le terme suivant est aussi positif ; par récurrence, tous les termes suivants sont positifs et même \(> 1\). Mais alors \(a_{i+2} = a_i a_{i+1} + 1 \geq 1 \cdot a_{i+1} + 1 > a_{i+1}\) pour tout indice \(i\) assez grand : la suite serait strictement croissante à partir d'un certain rang, ce qui est impossible pour une suite périodique.
Pas de terme nul. Si \(a_i = 0\), alors \(a_{i+1} = a_{i-1} a_i + 1 = 1\) et \(a_{i+2} = a_i a_{i+1} + 1 = 1\) sont deux termes positifs consécutifs : même contradiction.
Après deux négatifs vient un positif. Si \(a_i < 0\) et \(a_{i+1} < 0\), alors \(a_{i+2} = a_i a_{i+1} + 1 > 1 > 0\).
Ainsi les termes positifs et négatifs se succèdent de sorte que chaque terme positif est suivi d'un ou deux termes négatifs, puis d'un terme positif.
Cas où les signes alternent. Supposons que \(a_i < 0\), \(a_{i+1} > 0\), \(a_{i+2} < 0\), \(a_{i+3} > 0\). Alors
donc \(a_i a_{i+1} < a_{i+1} a_{i+2}\) et, comme \(a_{i+1} > 0\), \(a_i < a_{i+2}\). Si les signes alternent partout, les termes négatifs forment une sous-suite strictement croissante \(a_i < a_{i+2} < a_{i+4} < \cdots\), impossible pour une suite périodique.
Cas restant : deux termes négatifs consécutifs. Supposons \(a_i < 0\) et \(a_{i+1} < 0\) ; alors \(a_{i+2} = a_i a_{i+1} + 1 > 1\), et \(a_{i+3}\) est négatif (pas deux positifs consécutifs). Montrons que \(a_{i+4}\) est aussi négatif. Comme \(a_{i+3} < 0\),
donc
produit de deux nombres négatifs. Ainsi \(a_{i+5} > a_{i+4}\). Comme au plus un des deux termes \(a_{i+4}, a_{i+5}\) peut être positif, c'est \(a_{i+4}\) qui est négatif.
Donc \(a_{i+3}\) et \(a_{i+4}\) sont négatifs et \(a_{i+5}\) est positif : après deux termes négatifs et un positif, les trois termes suivants reproduisent le même motif de signes. La suite des signes est donc périodique de période \(3\), exactement \((-,-,+)\) répété, et puisque la suite est \(n\)-périodique, \(n\) est un multiple de \(3\). \(\blacksquare\)
Solution 2¶
Avec le même prolongement périodique, montrons que la plus petite période de la suite est \(3\) ; il en résulte que \(n\) est divisible par \(3\).
L'équation \(x^2 + 1 = x\) n'a pas de racine réelle, donc les \(a_i\) ne peuvent pas être tous égaux : la plus petite période n'est pas \(1\).
En utilisant la récurrence aux rangs \(i\) et \(i+1\) :
donc
Sommons pour \(i = 1, 2, \ldots, n\). Par périodicité, \(\sum a_{i+2} = \sum a_i\) et \(\sum a_{i+2}^2 = \sum a_i^2 = \sum a_{i+3}^2\) ; le membre de droite a une somme nulle, et le membre de gauche s'écrit \(\sum \left( \frac{a_i^2 + a_{i+3}^2}{2} - a_i a_{i+3} \right)\). On obtient
Donc \(a_i = a_{i+3}\) pour tout \(i\) : la suite est périodique de période \(3\). Sa plus petite période divise \(3\) et n'est pas \(1\), c'est donc \(3\), et elle divise \(n\). Ainsi \(3 \mid n\) ; la construction de la solution 1 montre que tout multiple de \(3\) convient. \(\blacksquare\)
Remarques¶
Remarque 1. En résolvant le système \(ab + 1 = c\), \(bc + 1 = a\), \(ca + 1 = b\), on voit que toute suite vérifiant les conditions est formée du motif \((-1, -1, 2)\) répété (à décalage près).