Shortlist 2018, A7

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★★★★ · Proposé par : Taiwan

Concepts : AM-GM et moyennes · Convexité, inégalité de Jensen, lissage

Solution officielle : Shortlist officielle 2018 (avec solutions), p. 22 (page 24 du PDF)

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Énoncé

Find the maximal value of

\[S = \sqrt[3]{\frac{a}{b+7}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c+7}} + \sqrt[3]{\frac{c}{d+7}} + \sqrt[3]{\frac{d}{a+7}},\]

where \(a, b, c, d\) are nonnegative real numbers which satisfy \(a + b + c + d = 100\).

Indices : les idées clés

• Inégalité de réordonnement (solution 1) : on regroupe les termes par paires \((x, t)\) et \((y, z)\) où \(x \leq y \leq z \leq t\).
• AM-GM : contrôle le terme croisé \(3\sqrt[3]{\cdots}\) dans la solution 1 et conclut la solution 2.
• Convexité et Jensen (solution 1) : la concavité de \(\sqrt[3]{\cdot}\) regroupe les deux paires.
• Inégalité de Hölder et majoration tangente (solution 2) : \(S^3 \leq \left(\sum \sqrt{a}\right)^2 \sum \frac{1}{b+7}\), puis une majoration polynomiale de \(\frac{1}{b+7}\) en \(\sqrt{b}\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2018 (deux solutions et une remarque).

Réponse : la valeur maximale est \(\dfrac{8}{\sqrt[3]{7}}\), atteinte lorsque \((a, b, c, d)\) est une permutation circulaire de \((1, 49, 1, 49)\).

Solution 1

Pour \((a, b, c, d) = (1, 49, 1, 49)\), on a \(S = 2\sqrt[3]{\frac{1}{56}} + 2\sqrt[3]{\frac{49}{8}} = \frac{2}{2\sqrt[3]{7}} + \frac{2 \cdot 7}{2\sqrt[3]{7}} = \frac{8}{\sqrt[3]{7}}\). Il suffit donc de prouver que \(S \leq 8/\sqrt[3]{7}\).

Soit \(x, y, z, t\) une permutation des variables telle que \(x \leq y \leq z \leq t\). Par l'inégalité de réordonnement,

\[S \leq \left(\sqrt[3]{\frac{x}{t+7}} + \sqrt[3]{\frac{t}{x+7}}\right) + \left(\sqrt[3]{\frac{y}{z+7}} + \sqrt[3]{\frac{z}{y+7}}\right).\]

Affirmation. La première parenthèse ne dépasse pas \(\sqrt[3]{\dfrac{x + t + 14}{7}}\).

Preuve. On a l'identité

\[X^3 + Y^3 + 3XYZ - Z^3 = \frac{1}{2}(X + Y - Z)\left((X - Y)^2 + (X + Z)^2 + (Y + Z)^2\right),\]

donc, pour \(X, Y, Z \geq 0\), l'inégalité \(X + Y \leq Z\) équivaut à \(X^3 + Y^3 + 3XYZ \leq Z^3\). L'affirmation équivaut donc à

\[\frac{x}{t+7} + \frac{t}{x+7} + 3\sqrt[3]{\frac{xt(x + t + 14)}{7(x+7)(t+7)}} \leq \frac{x + t + 14}{7}.\]

Or, par AM-GM,

\[3\sqrt[3]{\frac{xt(x + t + 14)}{7(x+7)(t+7)}} = 3\sqrt[3]{\frac{t(x+7)}{7(t+7)} \cdot \frac{x(t+7)}{7(x+7)} \cdot \frac{7(x + t + 14)}{(t+7)(x+7)}} \leq \frac{t(x+7)}{7(t+7)} + \frac{x(t+7)}{7(x+7)} + \frac{7(x + t + 14)}{(t+7)(x+7)},\]

donc il suffit de prouver

\[\frac{x}{t+7} + \frac{t}{x+7} + \frac{t(x+7)}{7(t+7)} + \frac{x(t+7)}{7(x+7)} + \frac{7(x + t + 14)}{(t+7)(x+7)} \leq \frac{x + t + 14}{7}.\]

Une vérification directe montre que cette dernière inégalité est en fait une égalité. \(\square\)

Précision ajoutée : la même affirmation appliquée à la paire \((y, z)\) (le calcul ne dépend pas de l'ordre) majore la seconde parenthèse par \(\sqrt[3]{\frac{y + z + 14}{7}}\).

L'affirmation donne alors

\[S \leq \sqrt[3]{\frac{x + t + 14}{7}} + \sqrt[3]{\frac{y + z + 14}{7}} \leq 2\sqrt[3]{\frac{x + y + z + t + 28}{14}} = 2\sqrt[3]{\frac{128}{14}} = \frac{8}{\sqrt[3]{7}},\]

la dernière inégalité venant de l'inégalité des moyennes (ou de la concavité de \(\sqrt[3]{\cdot}\) sur \([0, \infty)\)). \(\blacksquare\)

Solution 2

On donne une autre preuve de la majoration \(S \leq 8/\sqrt[3]{7}\). On commence par l'inégalité de Hölder :

\[S^3 = \left(\sum_{\text{cyc}} \frac{\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{a}}{\sqrt[3]{b+7}}\right)^3 \leq \sum_{\text{cyc}} \left(\sqrt[6]{a}\right)^3 \cdot \sum_{\text{cyc}} \left(\sqrt[6]{a}\right)^3 \cdot \sum_{\text{cyc}} \left(\frac{1}{\sqrt[3]{b+7}}\right)^3 = \left(\sum_{\text{cyc}} \sqrt{a}\right)^2 \sum_{\text{cyc}} \frac{1}{b+7}.\]

Pour \(x \geq 0\), on a

\[\frac{(x-1)^2(x-7)^2}{x^2+7} \geq 0 \iff x^2 - 16x + 71 \geq \frac{448}{x^2+7},\]

car \((x^2 - 16x + 71)(x^2 + 7) - 448 = (x^2 - 8x + 7)^2\). Avec \(x = \sqrt{b}\) (et de même pour les autres variables), et \(a + b + c + d = 100\), cela donne

\[\sum \frac{1}{b+7} \leq \frac{1}{448}\sum\left(b - 16\sqrt{b} + 71\right) = \frac{1}{448}\left(384 - 16\sum\sqrt{b}\right) = \frac{48 - 2\sum\sqrt{b}}{56}.\]

Enfin, par AM-GM appliquée aux trois nombres \(\sum\sqrt{a}\), \(\sum\sqrt{a}\) et \(48 - 2\sum\sqrt{a}\) (ce dernier est positif d'après l'inégalité précédente),

\[S^3 \leq \frac{1}{56}\left(\sum\sqrt{a}\right)^2\left(48 - 2\sum\sqrt{a}\right) \leq \frac{1}{56}\left(\frac{\sum\sqrt{a} + \sum\sqrt{a} + \left(48 - 2\sum\sqrt{a}\right)}{3}\right)^3 = \frac{512}{7}.\]

D'où \(S \leq 8/\sqrt[3]{7}\). \(\blacksquare\)

Remarques

Remarque 1. Tout ce qui précède fonctionne encore si l'on remplace \(7\) et \(100\) par \(k > 0\) et \(2(k^2 + 1)\) respectivement ; la réponse devient alors

\[2\sqrt[3]{\frac{(k+1)^2}{k}}.\]

Plus généralement, une substitution linéaire permet d'étendre les solutions au cas où \(7\) et \(100\) sont remplacés par des réels positifs quelconques \(p\) et \(q\) vérifiant \(q \geq 4p\).