Shortlist 2018, G2

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Australia

Concepts : Chasse aux angles et quadrilatères cycliques

Solution officielle : Shortlist officielle 2018 (avec solutions), p. 38 (page 40 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé

Let \(ABC\) be a triangle with \(AB = AC\), and let \(M\) be the midpoint of \(BC\). Let \(P\) be a point such that \(PB < PC\) and \(PA\) is parallel to \(BC\). Let \(X\) and \(Y\) be points on the lines \(PB\) and \(PC\), respectively, so that \(B\) lies on the segment \(PX\), \(C\) lies on the segment \(PY\), and \(\angle PXM = \angle PYM\). Prove that the quadrilateral \(APXY\) is cyclic.

Indices : les idées clés

• Introduire un point auxiliaire \(Z\) sur la droite \(AM\), au pied de la perpendiculaire en \(Y\) à \(PC\) : on montre que \(P, A, X, Y, Z\) sont tous sur le cercle de diamètre \(PZ\).
• Chasse aux angles et quadrilatères cycliques : les angles droits donnent les cercles \(PAYZ\) et \(CYZM\), puis l'égalité \(\angle BXM = \angle BZM\) donne le cercle \(BXZM\).
• Symétrie par rapport à la droite \(AM\) (médiatrice de \(BC\)) : \(\angle CZM = \angle BZM\).
• Point de Miquel (remarque 2) : \(A\) est le point de Miquel d'un quadrilatère cyclique complet.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2018 (une solution et quatre remarques).

Solution

Comme \(AB = AC\), la droite \(AM\) est la médiatrice de \(BC\) ; comme de plus \(PA \parallel BC\), on a \(\angle PAM = \angle AMC = 90^\circ\).

Soit \(Z\) le point d'intersection de la droite \(AM\) et de la perpendiculaire à \(PC\) passant par \(Y\) (on remarque que \(Z\) est sur la demi-droite \([AM)\), au-delà de \(M\)). On a \(\angle PAZ = \angle PYZ = 90^\circ\), donc les points \(P\), \(A\), \(Y\), \(Z\) sont cocycliques (sur le cercle de diamètre \(PZ\)).

Comme \(\angle CMZ = \angle CYZ = 90^\circ\), le quadrilatère \(CYZM\) est cyclique, d'où \(\angle CZM = \angle CYM\). D'après l'hypothèse, \(\angle CYM = \angle PYM = \angle PXM = \angle BXM\), et, par symétrie par rapport à \(ZM\), \(\angle CZM = \angle BZM\). Donc \(\angle BXM = \angle BZM\). Il en résulte que les points \(B\), \(X\), \(Z\), \(M\) sont cocycliques, d'où

\[\angle BXZ = 180^\circ - \angle BMZ = 90^\circ.\]

Finalement, \(\angle PXZ = \angle PYZ = \angle PAZ = 90^\circ\), donc les cinq points \(P, A, X, Y, Z\) sont sur le cercle de diamètre \(PZ\). En particulier, le quadrilatère \(APXY\) est cyclique. \(\blacksquare\)

Remarques

Remarque 1. Le point clé \(Z\) peut être introduit de plusieurs autres façons, par exemple comme second point d'intersection du cercle \(CMY\) avec la droite \(AM\), ou comme second point d'intersection des cercles \(CMY\) et \(BMX\). Pour certaines définitions, la position de \(Z\) n'est pas évidente : par exemple, si \(Z\) est défini comme intersection de \(AM\) et de la perpendiculaire à \(PX\) en \(X\), il n'est pas clair que \(Z\) est sur la demi-droite \([AM)\) au-delà de \(M\). Pour éviter ces subtilités, des précisions supplémentaires sur la construction peuvent être nécessaires.

Remarque 2 (lien avec le point de Miquel d'un quadrilatère cyclique). Posons \(X' = MX \cap PC\), \(Y' = MY \cap PB\) et \(Q = XY \cap X'Y'\) (voir la figure). On a \(BC \parallel PQ\) : par exemple, le faisceau de droites \(PX, PM, PY, PQ\) est harmonique, donc les points \(B\), \(M\), \(C\), \(PQ \cap BC\) forment une division harmonique ; comme \(M\) est le milieu de \(BC\), le point \(PQ \cap BC\) est à l'infini, c'est-à-dire \(PQ \parallel BC\). L'égalité \(\angle PXM = \angle PYM\) entraîne que le quadrilatère \(XYX'Y'\) est cyclique. Le point \(A\) est alors le projeté orthogonal de \(M\) sur \(PQ\) ; par une caractérisation connue, \(A\) est le point de Miquel des droites \(XY\), \(XY'\), \(X'Y\), \(X'Y'\). En particulier, le cercle \(PXY\) passe par \(A\).

Remarque 3 (une approche par une famille de cercles). Les longueurs orientées \(CY\) et \(BX\) sont des fonctions affines du paramètre \(t = \cot \angle PXM\). Quand \(t\) varie, le point d'intersection \(S\) des médiatrices de \(PX\) et \(PY\) (centre du cercle \(PXY\)) décrit une droite fixe ; la famille des cercles \(PXY\) a donc un point commun fixe autre que \(P\). En examinant des cas particuliers, on montre que ce point fixe est \(A\).

Remarque 4. L'énoncé affirme que \(\angle PXM = \angle PYM\) implique que \(APXY\) est cyclique. La proposition originale affirmait que ces deux conditions sont en fait équivalentes ; le comité a omis la réciproque, qui découle facilement du sens direct en renversant les arguments.