Shortlist 2018, N5¶

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★★☆☆ · Proposé par : Russia

Concepts : Équations diophantiennes : factorisation et encadrement

Solution officielle : Shortlist officielle 2018 (avec solutions), p. 64 (page 66 du PDF)

Pas encore relu

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Énoncé¶

Four positive integers $x$, $y$, $z$, and $t$ satisfy the relations

\[xy - zt = x + y = z + t.\]

Is it possible that both $xy$ and $zt$ are perfect squares?

Indices : les idées clés

Parité puis changement de variables : $x + y = z + t$ est pair, et avec $s = \frac{x+y}{2}$ on écrit $xy = s^2 - \left(\frac{x-y}{2}\right)^2$.
Équations diophantiennes : encadrement : en solution 1, des inégalités forcent $s \leq 4$ ; en solution 2, $xyzt$ est coincé strictement entre deux carrés consécutifs $(D-1)^2$ et $D^2$.
Paramétrage complet (solution 2) : toutes les solutions de $xy - zt = x + y = z + t$ s'écrivent à l'aide de deux paramètres $k, \ell$.
Produit de deux carrés (solution 2) : si $xy$ et $zt$ sont des carrés, $xyzt$ en est un.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2018 (deux solutions et une remarque).

Solution 1¶

Réponse : non.

Raisonnons par l'absurde : supposons $xy = a^2$ et $zt = c^2$ avec $a, c > 0$.

Si $x + y = z + t$ était impair, $x$ et $y$ seraient de parités différentes, de même que $z$ et $t$. Alors $xy$ et $zt$ seraient pairs, ainsi que $xy - zt = x + y$ : contradiction. Donc $x + y$ est pair, et $s = \frac{x+y}{2} = \frac{z+t}{2}$ est un entier positif.

Posons $b = \frac{|x - y|}{2}$ et $d = \frac{|z - t|}{2}$. Les conditions de l'énoncé donnent

\[s^2 = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \tag{1}\]

et

\[2s = a^2 - c^2 = d^2 - b^2 \tag{2}\]

(la dernière égalité de (2) découle de (1)). On déduit de (2) que $a, d > 0$.

Dans la suite, on n'utilise que (1), (2), et le fait que $a, d, s$ sont des entiers positifs, tandis que $b$ et $c$ sont des entiers positifs ou nuls, dont au plus un est nul. Comme les deux relations sont symétriques pour l'échange simultané $a \leftrightarrow d$, $b \leftrightarrow c$, on suppose sans perte de généralité que $b \geq c$ (donc $b > 0$). Alors $d^2 = 2s + b^2 > c^2$, d'où

\[d^2 > \frac{c^2 + d^2}{2} = \frac{s^2}{2}. \tag{3}\]

D'autre part, comme $d^2 - b^2$ est pair d'après (2), $b$ et $d$ ont même parité, donc $0 < b \leq d - 2$. Par conséquent

\[2s = d^2 - b^2 \geq d^2 - (d - 2)^2 = 4(d - 1), \quad\text{c'est-à-dire}\quad d \leq \frac{s}{2} + 1. \tag{4}\]

En combinant (3) et (4) (encadrement), on obtient

\[2s^2 < 4d^2 \leq 4\left(\frac{s}{2} + 1\right)^2, \quad\text{soit}\quad (s - 2)^2 < 8,\]

ce qui donne $s \leq 4$.

Enfin, on vérifie facilement que chaque nombre $s^2$ avec $1 \leq s \leq 4$ a une unique écriture comme somme de deux carrés, à savoir $s^2 = s^2 + 0^2$. Donc (1), avec $a, d > 0$, impose $b = c = 0$, ce qui est impossible. $\blacksquare$

Solution 2¶

On commence par décrire complètement les quadruplets $(x, y, z, t)$ d'entiers positifs vérifiant

\[xy - zt = x + y = z + t. \tag{$*$}\]

Comme dans la solution 1, les nombres

\[s = \frac{x + y}{2} = \frac{z + t}{2}, \qquad p = \frac{x - y}{2}, \qquad q = \frac{z - t}{2}\]

sont entiers (on peut supposer, et on suppose, $p, q \geq 0$). On a

\[2s = xy - zt = (s + p)(s - p) - (s + q)(s - q) = q^2 - p^2,\]

donc $p$ et $q$ ont même parité, et $q > p$.

Posons $k = \frac{q - p}{2}$ et $\ell = \frac{q + p}{2}$. Alors $s = \frac{q^2 - p^2}{2} = 2k\ell$, et

\[x = s + p = 2k\ell - k + \ell, \quad y = s - p = 2k\ell + k - \ell, \quad z = s + q = 2k\ell + k + \ell, \quad t = s - q = 2k\ell - k - \ell. \tag{5}\]

On a $\ell \geq k > 0$ et $(k, \ell) \neq (1, 1)$, sinon $t = 0$ ; donc $\ell \geq 2$.

Supposons maintenant que $xy$ et $zt$ soient des carrés. Alors $xyzt$ est aussi un carré. Or

\[\begin{aligned} xyzt &= (2k\ell - k + \ell)(2k\ell + k - \ell)(2k\ell + k + \ell)(2k\ell - k - \ell) \\ &= \big(4k^2\ell^2 - (k - \ell)^2\big)\big(4k^2\ell^2 - (k + \ell)^2\big) = (4k^2\ell^2 - k^2 - \ell^2)^2 - 4k^2\ell^2. \end{aligned} \tag{6}\]

Posons $D = 4k^2\ell^2 - k^2 - \ell^2 > 0$. D'après (6), $D^2 > xyzt$. D'autre part,

\[\begin{aligned} (D - 1)^2 &= D^2 - 2(4k^2\ell^2 - k^2 - \ell^2) + 1 = (D^2 - 4k^2\ell^2) - (2k^2 - 1)(2\ell^2 - 1) + 2 \\ &= xyzt - (2k^2 - 1)(2\ell^2 - 1) + 2 < xyzt, \end{aligned}\]

car $\ell \geq 2$ et $k \geq 1$. Ainsi $(D - 1)^2 < xyzt < D^2$ (encadrement entre deux carrés consécutifs), et $xyzt$ ne peut pas être un carré parfait : contradiction. $\blacksquare$

Remarques¶

Remarque. La première partie de la solution 2 montre que tous les quadruplets d'entiers positifs avec $x \geq y$, $z \geq t$ vérifiant $(*)$ sont de la forme (5), avec $\ell \geq k > 0$ et $\ell \geq 2$. La réciproque est vraie aussi : tout couple d'entiers $\ell \geq k > 0$, sauf $k = \ell = 1$, fournit par (5) un quadruplet d'entiers positifs vérifiant $(*)$.