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Shortlist 2019, G1

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Nigeria

Concepts : Chasse aux angles et quadrilatères cycliques

Solution officielle : Shortlist officielle 2019 (avec solutions), section G1 (livret PDF)

Énoncé

Let \(ABC\) be a triangle. Circle \(\Gamma\) passes through \(A\), meets segments \(AB\) and \(AC\) again at points \(D\) and \(E\) respectively, and intersects segment \(BC\) at \(F\) and \(G\) such that \(F\) lies between \(B\) and \(G\). The tangent to circle \(BDF\) at \(F\) and the tangent to circle \(CEG\) at \(G\) meet at point \(T\). Suppose that points \(A\) and \(T\) are distinct. Prove that line \(AT\) is parallel to \(BC\).

Indices : les idées clés
  • Chasse aux angles : l'angle entre une tangente et une corde (cercles \(BDF\) et \(CEG\)), puis les angles inscrits dans le cercle \(\Gamma\), ramènent les angles en \(F\) et \(G\) du triangle \(FGT\) à ceux du triangle \(FGA\).
  • Triangles isométriques : \(FGA\) et \(GFT\) ont un côté commun et les mêmes angles adjacents, donc des hauteurs égales issues de \(A\) et \(T\).
  • Montrer que \(T \in \Gamma\) (remarque) : une autre conclusion par les angles inscrits.
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2019 (une solution et une remarque).

Solution

Figure (solution 1)

Comme \(FT\) est tangente au cercle \(BDF\), l'angle entre la tangente et la corde donne \(\angle TFB = \angle FDA\) ; de plus \(\angle FDA = \angle CGA\) car le quadrilatère \(ADFG\) est cyclique (inscrit dans \(\Gamma\)). De même, comme \(GT\) est tangente au cercle \(CEG\), \(\angle TGB = \angle GEC\), et \(\angle GEC = \angle CFA\) (quadrilatère \(AFGE\) inscrit dans \(\Gamma\)). Ainsi

\[\angle TFB = \angle CGA \quad \text{et} \quad \angle TGB = \angle CFA. \tag{1}\]

Les triangles \(FGA\) et \(GFT\) ont le côté commun \(FG\) et, d'après (1), leurs angles en \(F\) et \(G\) se correspondent : \(\angle TGF = \angle TGB = \angle CFA = \angle AFG\) et \(\angle TFG = 180^\circ - \angle TFB = 180^\circ - \angle CGA = \angle AGF\). Ces triangles sont donc isométriques. En particulier, leurs hauteurs issues respectivement de \(A\) et de \(T\) sont égales, et \(A\) et \(T\) sont du même côté de \(BC\) ; donc la droite \(AT\) est parallèle à la droite \(BFGC\). \(\blacksquare\)

Remarques

Remarque 1. On peut aussi montrer d'abord que \(T\) appartient à \(\Gamma\), par exemple en établissant \(\angle AFT = \angle AGT\) à l'aide de (1). La conclusion découle alors de \(\angle TAF = \angle TGF = \angle GFA\) (angles inscrits), qui sont des angles alternes-internes pour les droites \(AT\) et \(BC\).