Shortlist 2019, G2

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Vietnam

Concepts : Centres du triangle et lemmes classiques · Triangles semblables et similitudes · Trigonométrie : loi des sinus, Ceva trigonométrique

Solution officielle : Shortlist officielle 2019 (avec solutions), section G2 (livret PDF)

Énoncé

Let \(ABC\) be an acute-angled triangle and let \(D\), \(E\), and \(F\) be the feet of altitudes from \(A\), \(B\), and \(C\) to sides \(BC\), \(CA\), and \(AB\), respectively. Denote by \(\omega_B\) and \(\omega_C\) the incircles of triangles \(BDF\) and \(CDE\), and let these circles be tangent to segments \(DF\) and \(DE\) at \(M\) and \(N\), respectively. Let line \(MN\) meet circles \(\omega_B\) and \(\omega_C\) again at \(P \neq M\) and \(Q \neq N\), respectively. Prove that \(MP = NQ\).

Indices : les idées clés

• Triangle orthique : grâce aux quadrilatères cycliques \(AFDC\) et \(ABDE\), on a \(\angle FDB = \angle CDE = \angle BAC\), donc les droites \(DO_B\) et \(DO_C\) font le même angle avec \(DF\) et \(DE\).
• Triangles semblables : les triangles rectangles \(DMO_B\) et \(DNO_C\) sont semblables, de rapport \(DN/DM = r_C/r_B\).
• Loi des sinus : longueur d'une corde \(MP = 2r_B \sin \varphi\) (angle tangente-corde), et loi des sinus dans le triangle \(DMN\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2019 (une solution).

Solution

Notons \(O_B\) et \(O_C\) les centres de \(\omega_B\) et \(\omega_C\), \(r_B\) et \(r_C\) leurs rayons, et \(T\) et \(U\) les points de contact de \(BC\) avec ces deux cercles.

Grâce aux quadrilatères cycliques \(AFDC\) et \(ABDE\) (angles droits en \(D\), \(E\), \(F\)), on a

\[\angle MDO_B = \frac{1}{2}\angle FDB = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2}\angle CDE = \angle O_C D N\]

(la droite \(DO_B\) est bissectrice de l'angle \(FDB\), et \(DO_C\) de l'angle \(CDE\)). Les triangles rectangles \(DMO_B\) et \(DNO_C\) (rectangles en \(M\) et \(N\)) sont donc semblables, de rapport

\[\frac{DN}{DM} = \frac{O_C N}{O_B M} = \frac{r_C}{r_B}.\]

Posons \(\varphi = \angle DMN\) et \(\psi = \angle MND\). Les droites \(FM\) et \(EN\) sont tangentes respectivement à \(\omega_B\) et \(\omega_C\), donc (angle entre tangente et corde, et angles opposés par le sommet)

\[\angle MTP = \angle FMP = \angle DMN = \varphi \quad \text{et} \quad \angle QUN = \angle QNE = \angle MND = \psi.\]

(Il se peut que \(P\) ou \(Q\) coïncide avec \(T\) ou \(U\), ou se trouve à l'intérieur du triangle \(DMT\) ou \(DUN\) respectivement. Pour éviter de distinguer des cas, on peut utiliser des angles orientés, ou simplement ne pas passer par les angles \(MTP\) et \(QUN\) : la corde \(MP\) fait l'angle \(\varphi\) avec la tangente \(FM\).)

Dans les cercles \(\omega_B\) et \(\omega_C\), les longueurs des cordes \(MP\) et \(NQ\) valent donc

\[MP = 2r_B \sin \angle MTP = 2r_B \sin \varphi \quad \text{et} \quad NQ = 2r_C \sin \angle QUN = 2r_C \sin \psi.\]

D'après la loi des sinus dans le triangle \(DNM\),

\[\frac{DN}{DM} = \frac{\sin \angle DMN}{\sin \angle MND} = \frac{\sin \varphi}{\sin \psi}.\]

En rassemblant ces observations,

\[\frac{MP}{NQ} = \frac{2r_B \sin \varphi}{2r_C \sin \psi} = \frac{r_B}{r_C} \cdot \frac{\sin \varphi}{\sin \psi} = \frac{DM}{DN} \cdot \frac{\sin \varphi}{\sin \psi} = \frac{\sin \psi}{\sin \varphi} \cdot \frac{\sin \varphi}{\sin \psi} = 1,\]

donc \(MP = NQ\). \(\blacksquare\)