Shortlist 2019, G8¶
Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★★★★ · Proposé par : Australia
Concepts : Chasse aux angles et quadrilatères cycliques · Principe des tiroirs · Outils projectifs : birapport, division harmonique, pôles et polaires
Solution officielle : Shortlist officielle 2019 (avec solutions), section G8 (livret PDF)
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Énoncé¶
Let \(\mathcal{L}\) be the set of all lines in the plane and let \(f\) be a function that assigns to each line \(\ell \in \mathcal{L}\) a point \(f(\ell)\) on \(\ell\). Suppose that for any point \(X\), and for any three lines \(\ell_1, \ell_2, \ell_3\) passing through \(X\), the points \(f(\ell_1), f(\ell_2), f(\ell_3)\) and \(X\) lie on a circle.
Prove that there is a unique point \(P\) such that \(f(\ell) = P\) for any line \(\ell\) passing through \(P\).
Indices : les idées clés
- Reformuler avec des cercles : la condition équivaut à l'existence, pour chaque point \(X\), d'un cercle \(g(X)\) passant par \(X\) et contenant \(f(\ell)\) pour toute droite \(\ell\) passant par \(X\).
- Chasse aux angles (angles orientés, théorème de Miquel) : trois cercles \(g(A)\), \(g(B)\), \(g(C)\) ont un point commun ; en solution 1, \(f\) est de la forme \(h_{P,\alpha}\) (la droite \(\ell\) et la droite par \(P\) faisant l'angle \(\alpha\) avec \(\ell\) se coupent en \(f(\ell)\)).
- Principe des tiroirs (solution 1) : \(5998\) points rouges ne peuvent pas atteindre les \(10\,000\) carrés \(10 \times 10\) d'une grille, d'où un carré « propre » à partir duquel on propage la propriété.
- Cercles arbitrairement petits (solution 3) : s'il existe des cercles \(g(X)\) de rayon arbitrairement petit, leurs centres convergent vers le point cherché.
- Transformations projectives (solution 4) : une composée de projections qui fixe trois points d'une droite est l'identité, ce qui limite à un nombre fini les positions possibles d'un point.
Solutions
Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2019 (quatre solutions et une remarque).
Remarque commune. La condition sur \(f\) équivaut à la suivante : il existe une fonction \(g\) qui associe à chaque point \(X\) un cercle \(g(X)\) passant par \(X\), tel que pour toute droite \(\ell\) passant par \(X\), le point \(f(\ell)\) soit sur \(g(X)\). (La fonction \(g\) n'est pas forcément définie de façon unique en tout point, si certains points \(X\) ont au plus une valeur de \(f(\ell)\) autre que \(X\) ; pour ces points, on fait un choix arbitraire.) S'il y avait deux points \(P\) et \(Q\) ayant la propriété voulue, \(f(PQ)\) devrait valoir à la fois \(P\) et \(Q\) ; il y a donc au plus un tel point, et il suffit de montrer qu'il en existe un.
Solution 1¶
On donne une caractérisation complète des fonctions vérifiant la condition.
Notons \(\angle(\ell_1, \ell_2)\) l'angle orienté, modulo \(180^\circ\), entre les droites \(\ell_1\) et \(\ell_2\). Étant donnés un point \(P\) et un angle \(\alpha \in (0, 180^\circ)\), pour chaque droite \(\ell\), soit \(\ell'\) la droite passant par \(P\) telle que \(\angle(\ell', \ell) = \alpha\), et soit \(h_{P,\alpha}(\ell)\) le point d'intersection de \(\ell\) et \(\ell'\). Nous allons prouver qu'il existe un couple \((P, \alpha)\) tel que \(f = h_{P,\alpha}\). Alors \(P\) est le point cherché (pour \(\ell\) passant par \(P\), on a \(\ell' \neq \ell\) et \(h_{P,\alpha}(\ell) = P\)).
Définitions. Une droite \(\ell\) est dite \((P, \alpha)\)-bonne si \(f(\ell) = h_{P,\alpha}(\ell)\). Un point \(X \neq P\) est dit \((P, \alpha)\)-bon si le cercle \(g(X)\) passe par \(P\) et s'il existe un point \(Y \neq P, X\) de \(g(X)\) tel que \(\angle(PY, YX) = \alpha\). Par les angles inscrits, si \(X\) est \((P,\alpha)\)-bon, alors tout point \(Y \neq P, X\) de \(g(X)\) vérifie cette condition d'angle, donc \(h_{P,\alpha}(XY) = Y\) pour tout \(Y \in g(X)\). Autrement dit, \(f(\ell) \in \{X, h_{P,\alpha}(\ell)\}\) pour toute droite \(\ell\) passant par \(X\). D'où :
Lemme 1. Si \(X\) est \((P,\alpha)\)-bon et si \(\ell\) passe par \(X\), alors \(f(\ell) = X\) ou \(\ell\) est \((P,\alpha)\)-bonne.
Lemme 2. Si \(X\) et \(Y\) sont deux points \((P,\alpha)\)-bons distincts, la droite \(XY\) est \((P,\alpha)\)-bonne.
Preuve. Sinon, par le lemme 1, \(f(XY) = X\) et de même \(f(XY) = Y\), ce qui est impossible car \(X \neq Y\). \(\square\)
Lemme 3. Si \(\ell_1\) et \(\ell_2\) sont deux droites \((P,\alpha)\)-bonnes distinctes qui se coupent en \(X \neq P\), alors \(f(\ell_1) = X\), ou \(f(\ell_2) = X\), ou \(X\) est \((P,\alpha)\)-bon.
Preuve. Si \(f(\ell_1), f(\ell_2) \neq X\), alors \(g(X)\) est le cercle circonscrit à \(X\), \(f(\ell_1)\), \(f(\ell_2)\). Comme \(\ell_1\) et \(\ell_2\) sont \((P,\alpha)\)-bonnes,
donc \(P\) est sur \(g(X)\). Ainsi \(X\) est \((P,\alpha)\)-bon. \(\square\)
Lemme 4. Si trois droites \((P,\alpha)\)-bonnes distinctes \(\ell_1\), \(\ell_2\), \(\ell_3\) se coupent en \(X \neq P\), alors \(X\) est \((P,\alpha)\)-bon.
Preuve. Cela découle du lemme 3, car au plus une des trois droites peut vérifier \(f(\ell_i) = X\) (pour une droite bonne, \(f(\ell_i) = X\) signifie que la droite \(PX\) fait l'angle \(\alpha\) avec \(\ell_i\), ce qui détermine \(\ell_i\)). \(\square\)
Lemme 5. Si \(ABC\) est un triangle tel que les points \(A\), \(B\), \(C\), \(f(AB)\), \(f(AC)\), \(f(BC)\) sont deux à deux distincts, alors il existe un point \(P\) et un angle \(\alpha\) tels que \(A\), \(B\), \(C\) soient des points \((P,\alpha)\)-bons et \(AB\), \(BC\), \(CA\) des droites \((P,\alpha)\)-bonnes.
Preuve. Notons \(D\), \(E\), \(F\) les points \(f(BC)\), \(f(AC)\), \(f(AB)\). Alors \(g(A)\), \(g(B)\), \(g(C)\) sont les cercles circonscrits à \(AEF\), \(BDF\), \(CDE\). Soit \(P \neq F\) le second point d'intersection des cercles \(g(A)\) et \(g(B)\) (ou \(P = F\) s'ils sont tangents en \(F\)). Par le théorème de Miquel (ou une simple chasse aux angles), \(g(C)\) passe aussi par \(P\). Les quadrilatères inscrits donnent alors les angles orientés
pour un certain angle \(\alpha\). Donc les droites \(AB\), \(BC\), \(CA\) sont \((P,\alpha)\)-bonnes et, par le lemme 3, \(A\), \(B\), \(C\) sont \((P,\alpha)\)-bons. (Si \(P = D\), la droite \(PD\) désigne dans l'égalité ci-dessus la tangente à \(g(B)\) en \(P = D\) ; de même pour \(PE\), \(PF\) si \(P = E\) ou \(P = F\).) (Voir la figure.) \(\square\)
Un carré sans point rouge. Soit \(\Omega\) l'ensemble des points \((x, y)\) à coordonnées entières avec \(1 \leq x, y \leq 1000\), et \(L_\Omega\) l'ensemble des droites horizontales, verticales et diagonales passant par au moins un point de \(\Omega\). Un dénombrement simple montre que \(L_\Omega\) contient \(5998\) droites. Pour chaque droite \(\ell\) de \(L_\Omega\), on colorie en rouge le point \(f(\ell)\) : il y a au plus \(5998\) points rouges. Partageons \(\Omega\) en \(10\,000\) carrés de \(10 \times 10\) points. Par le principe des tiroirs, puisqu'il y a au plus \(5998\) points rouges, au moins un de ces carrés, \(\Omega_{10}\), ne contient aucun point rouge.
Soit \((m, n)\) le point en bas à gauche de \(\Omega_{10}\). Le triangle de sommets \((m, n)\), \((m+1, n)\), \((m, n+1)\) vérifie les hypothèses du lemme 5 ; ses trois sommets sont donc \((P,\alpha)\)-bons pour un certain point \(P\) et un certain angle \(\alpha\), de même que les droites qui les joignent. Désormais, on dit simplement « bon » pour « \((P,\alpha)\)-bon » avec ce couple \((P,\alpha)\). Par le lemme 1, la droite \(x = m+1\) est bonne, ainsi que la droite \(y = n+1\). Le lemme 3 montre alors que \((m+1, n+1)\) est bon. En appliquant ces deux lemmes de façon répétée, on prouve que la droite \(x + y = m + n + 2\) est bonne, puis les points \((m, n+2)\) et \((m+2, n)\), puis les droites \(x = m+2\) et \(y = n+2\), puis les points \((m+2, n+1)\), \((m+1, n+2)\) et \((m+2, n+2)\), et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les points de \(\Omega_{10}\) soient bons.
Tout point \(S \neq P\) est bon. Le cercle \(g(S)\) contient au plus deux points de \(\Omega_{10}\) sur chaque droite verticale, donc au plus \(20\) points au total. De plus, toute droite passant par \(S\) contient au plus \(10\) points de \(\Omega_{10}\). Il y a donc au moins huit droites \(\ell\) passant par \(S\) qui contiennent un point \(Q\) de \(\Omega_{10}\) n'appartenant pas à \(g(S)\). Comme \(Q\) n'est pas sur \(g(S)\), on a \(f(\ell) \neq Q\), donc, par le lemme 1, la droite \(\ell\) est bonne. Ainsi au moins huit droites bonnes passent par \(S\), et par le lemme 4, \(S\) est bon.
Donc tout point \(S \neq P\) est bon et, par le lemme 2, toute droite est bonne. En particulier, toute droite \(\ell\) passant par \(P\) est bonne, donc vérifie \(f(\ell) = P\), comme voulu. \(\blacksquare\)
Solution 2¶
Pour deux points distincts \(X\), \(Y\), les cercles \(g(X)\) et \(g(Y)\) se coupent sur \(XY\), au point \(f(XY) \in g(X) \cap g(Y) \cap (XY)\). On note \(s(X, Y)\) le second point d'intersection des cercles \(g(X)\) et \(g(Y)\).
Lemme 1. Supposons que \(X\), \(Y\), \(Z\) ne soient pas alignés et que \(f(XY) \notin \{X, Y\}\), et de même pour \(YZ\) et \(ZX\). Alors \(s(X, Y) = s(Y, Z) = s(Z, X)\).
Preuve. Les cercles \(g(X)\), \(g(Y)\), \(g(Z)\) passant par les sommets du triangle \(XYZ\) se coupent deux à deux sur les côtés correspondants (prolongés). Par le théorème de Miquel, les seconds points d'intersection de deux quelconques de ces cercles coïncident. (Voir la figure du lemme 5 de la solution 1.) \(\square\)
Prenons une droite \(\ell\) quelconque et six points distincts \(Y_1, \ldots, Y_6\) sur \(\ell \setminus \{f(\ell)\}\). Prenons un point \(X\) qui n'est ni sur \(\ell\) ni sur aucun des cercles \(g(Y_i)\). Quitte à renuméroter, on peut supposer que \(Y_1, \ldots, Y_4\) ne sont pas sur \(g(X)\), de sorte que \(f(XY_i) \notin \{X, Y_i\}\) pour \(1 \leq i \leq 4\). En appliquant le lemme aux triangles \(XY_iY_j\) pour \(1 \leq i < j \leq 4\), on trouve que les points \(s(Y_i, Y_j)\) et \(s(X, Y_i)\) sont tous égaux, à un point \(O\). Remarquons que soit \(O\) n'est pas sur \(\ell\), soit \(O = f(\ell)\), puisque \(O \in g(Y_i)\).
Considérons maintenant un point arbitraire \(X'\) qui n'est ni sur \(\ell\) ni sur aucun des cercles \(g(Y_i)\), \(1 \leq i \leq 4\). Comme ci-dessus, il existe deux indices \(1 \leq i < j \leq 4\) tels que \(Y_i\) et \(Y_j\) ne soient pas sur \(g(X')\). En appliquant le lemme au triangle \(X'Y_iY_j\), on voit que \(s(X', Y_i) = O\) ; en particulier, \(g(X')\) passe par \(O\).
Montrons enfin que \(f(\ell') = O\) pour toute droite \(\ell'\) passant par \(O\). D'après la remarque ci-dessus, on peut supposer \(\ell' \neq \ell\). Soit \(X'\) un point variable de \(\ell' \setminus \{O\}\), qui n'est ni sur \(\ell\) ni sur aucun des cercles \(g(Y_i)\), \(1 \leq i \leq 4\). On sait que \(f(\ell') \in g(X') \cap \ell' = \{X', O\}\). Comme \(X'\) peut être choisi de façon assez arbitraire, on a \(f(\ell') = O\), comme voulu. \(\blacksquare\)
Solution 3¶
Pour deux points distincts \(X\) et \(Y\), le point \(f(XY)\) est à la fois sur \(g(X)\) et sur \(g(Y)\) : deux tels cercles se rencontrent toujours. On dit que deux cercles se coupent seulement lorsqu'ils se croisent, donc se rencontrent en exactement deux points (on exclut le cas où ils sont tangents ou confondus).
Lemme 1. S'il existe un point \(P\) par lequel passent tous les cercles \(g(X)\), alors \(P\) a la propriété voulue.
Preuve. Soit \(\ell\) une droite passant par \(P\), et supposons \(f(\ell) \neq P\). Soit \(X \in \ell\) avec \(X \neq P\) et \(X \neq f(\ell)\). Alors \(g(X)\) passe par \(P\), \(f(\ell)\) et \(X\), trois points distincts alignés : contradiction. \(\square\)
Lemme 2. Supposons que, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un point \(P_\varepsilon\) tel que \(g(P_\varepsilon)\) soit de rayon au plus \(\varepsilon\). Alors il existe un point \(P\) ayant la propriété voulue.
Preuve. Considérons la suite \(\varepsilon_i = 2^{-i}\) et les points \(P_{\varepsilon_i}\) correspondants. Comme les cercles \(g(P_{\varepsilon_i})\) et \(g(P_{\varepsilon_j})\) se rencontrent, la distance entre \(P_{\varepsilon_i}\) et \(P_{\varepsilon_j}\) est au plus \(2^{1-i} + 2^{1-j}\). Comme \(\sum_i \varepsilon_i\) converge, ces points convergent vers un point \(P\). Pour tout \(\varepsilon > 0\) (de la forme \(\varepsilon_i\)), le point \(P\) est à distance au plus \(2\varepsilon\) de \(P_\varepsilon\), et tout cercle \(g(X)\) passe par un point à distance au plus \(2\varepsilon\) de \(P_\varepsilon\) (car il rencontre \(g(P_\varepsilon)\)), donc à distance au plus \(4\varepsilon\) de \(P\). Un cercle qui passe à distance au plus \(4\varepsilon\) de \(P\) pour tout \(\varepsilon > 0\) passe par \(P\) ; on conclut par le lemme 1. \(\square\)
Lemme 3. Si deux cercles \(g(X)\) ne se coupent jamais, alors il existe un point \(P\) ayant la propriété voulue.
Preuve. Soit un cercle \(g(X)\), de centre \(Y\). Le cercle \(g(Y)\) doit rencontrer \(g(X)\) sans le couper ; comme il passe par le centre \(Y\), il est tangent intérieurement à \(g(X)\) et son rayon est la moitié de celui de \(g(X)\). En répétant cet argument, on obtient des cercles de rayon arbitrairement petit, et l'on conclut par le lemme 2. \(\square\)
Lemme 4. Supposons qu'il existe six points distincts \(A\), \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\), \(B_4\), \(B_5\), trois jamais alignés et quatre jamais cocycliques, tels que les cercles \(g(B_i)\) se coupent deux à deux en \(A\). Alors il existe un point \(P\) ayant la propriété voulue.
Preuve. Soit \(\ell\) une droite passant par \(A\), qui ne passe par aucun des \(B_i\) et n'est tangente à aucun des \(g(B_i)\). Fixons un sens sur cette droite et notons \(X_\varepsilon\) le point de \(\ell\) à distance \(\varepsilon\) de \(A\) dans ce sens. On ne considère que les \(\varepsilon\) pour lesquels \(X_\varepsilon\) n'est sur aucun \(g(B_i)\) (cela n'exclut qu'un nombre fini de valeurs).
Considérons le cercle \(g(X_\varepsilon)\). Comme quatre des \(B_i\) ne sont jamais cocycliques, au plus trois d'entre eux sont sur ce cercle, donc au moins deux n'y sont pas. Il existe une suite de valeurs \(\varepsilon \to 0\) pour laquelle ce sont toujours les deux mêmes ; restreignons-nous à cette suite et supposons sans perte de généralité que \(B_1\) et \(B_2\) ne sont jamais sur \(g(X_\varepsilon)\).
Alors \(f(X_\varepsilon B_1)\) n'est pas \(B_1\), donc c'est l'autre point d'intersection de \(X_\varepsilon B_1\) avec \(g(B_1)\) ; de même pour \(B_2\). Considérons les trois points \(X_\varepsilon\), \(f(X_\varepsilon B_1)\), \(f(X_\varepsilon B_2)\). Quand \(\varepsilon \to 0\), l'angle en \(X_\varepsilon\) tend vers \(\angle B_1AB_2\) ou \(180^\circ - \angle B_1AB_2\), qui n'est ni \(0\) ni \(180^\circ\) puisque trois des points ne sont jamais alignés. Les trois distances entre ces points sont majorées par des multiples constants de \(\varepsilon\) (en fait, si l'on agrandit le triangle d'un facteur \(1/\varepsilon\), il tend vers un triangle fixe). Le rayon du cercle circonscrit à ces trois points, qui est le rayon de \(g(X_\varepsilon)\), est donc lui aussi majoré par un multiple constant de \(\varepsilon\), et l'on conclut par le lemme 2. \(\square\)
Lemme 5. S'il existe deux points \(A\) et \(B\) tels que \(g(A)\) et \(g(B)\) se coupent, alors il existe un point \(P\) ayant la propriété voulue.
Preuve. Supposons que \(g(A)\) et \(g(B)\) se coupent en \(C\) et \(D\). L'un de ces points, disons \(C\), doit être \(f(AB)\), donc être sur la droite \(AB\). On distingue deux cas selon que \(D\) est aussi sur cette droite ou non.
Cas 1 : \(D\) n'est pas sur la droite \(AB\). Considérons une suite de points \(X_\varepsilon\) à distance \(\varepsilon\) de \(D\), tendant vers \(D\) le long d'une droite qui n'est tangente à aucun des deux cercles, mais légèrement perturbée (d'au plus \(\varepsilon^2\)) pour que trois des points \(A\), \(B\), \(X_\varepsilon\) ne soient jamais alignés et quatre jamais cocycliques.
Considérons les points \(f(X_\varepsilon A)\) et \(f(X_\varepsilon B)\), et les cercles \(g(X_\varepsilon)\) qui les contiennent. Le point \(f(X_\varepsilon A)\) est soit \(A\), soit l'autre point d'intersection de \(X_\varepsilon A\) avec \(g(A)\) ; de même pour \(B\). Si, pour une suite \(\varepsilon \to 0\), ces deux points sont les « autres » points d'intersection, le même argument que dans la preuve du lemme 4 donne des cercles arbitrairement petits. Sinon, une infinité de ces cercles passent par \(A\), ou une infinité passent par \(B\) ; disons, sans perte de généralité, par \(A\).
Montrons qu'on peut alors trouver cinq points \(B_i\) vérifiant (avec \(A\)) les hypothèses du lemme 4. Soit \(B_1\) l'un des \(X_\varepsilon\) pour lesquels \(g(X_\varepsilon)\) passe par \(A\). Puis on répète quatre fois ce qui suit, pour \(2 \leq i \leq 5\). On considère une droite \(\ell = X_\varepsilon A\) (différente de celles déjà utilisées) qui n'est tangente à aucun des \(g(B_j)\), \(j < i\), et telle que \(f(\ell) = A\) ; alors \(g(Y)\) passe par \(A\) pour tout \(Y\) de cette droite. S'il y a des cercles \(g(Y)\) arbitrairement petits, on conclut par le lemme 2 ; on peut donc supposer que les rayons de ces cercles sont minorés. Mais quand \(Y \to A\) le long d'une droite non tangente à \(g(B_j)\), le rayon du cercle passant par \(Y\) et tangent à \(g(B_j)\) en \(A\) tend vers \(0\). Il existe donc un point \(Y\) tel que \(g(Y)\) coupe \(g(B_j)\) en \(A\) (au lieu d'y être tangent) pour tous les \(B_j\) précédents, et on peut aussi le choisir de sorte que trois des points \(B_i\) et \(A\) ne soient jamais alignés et quatre jamais cocycliques. On pose \(B_i = Y\). On conclut alors par le lemme 4.
Cas 2 : \(D\) est sur la droite \(AB\). On suit un argument analogue, mais la suite \(X_\varepsilon\) doit être un peu différente. Comme \(C\) et \(D\) sont tous deux sur la droite \(AB\), l'un est \(A\) et l'autre est \(B\). Considérons une suite de points \(X_\varepsilon\) tendant vers \(B\), non plus le long d'une droite (avec de petites perturbations), mais de façon que tous les points soient à l'intérieur des deux cercles et que l'angle entre \(X_\varepsilon B\) et la tangente à \(g(B)\) en \(B\) tende vers \(0\).
Considérons encore les points \(f(X_\varepsilon A)\) et \(f(X_\varepsilon B)\). Si, pour une suite \(\varepsilon \to 0\), ce sont tous deux les « autres » points d'intersection avec les cercles correspondants, l'angle en \(X_\varepsilon\) tend vers l'angle entre \(AB\) et la tangente à \(g(B)\) en \(B\), qui n'est ni \(0\) ni \(180^\circ\), tandis que les distances tendent vers \(0\) (peut-être plus lentement que tout multiple de \(\varepsilon\)) ; on a donc des rayons de cercles circonscrits arbitrairement petits et l'on conclut par le lemme 2. Sinon, une infinité de cercles \(g(X_\varepsilon)\) passent par \(A\), ou une infinité passent par \(B\), et le même argument que dans le cas précédent ramène au lemme 4. \(\square\)
Les lemmes 3 et 5 couvrent tous les cas, ce qui démontre le résultat. \(\blacksquare\)
Solution 4¶
Pour tout point \(X\), notons \(t(X)\) la tangente à \(g(X)\) en \(X\) ; on a \(f(t(X)) = X\), donc \(f\) est surjective.
Étape 1 : on trouve un point \(P\) pour lequel il existe au moins deux droites distinctes \(p_1\) et \(p_2\) telles que \(f(p_i) = P\).
Soit \(X\) un point quelconque. Si \(X\) n'a pas cette propriété, prenons \(Y \in g(X) \setminus \{X\}\) ; alors \(f(XY) = Y\). Si \(Y\) n'a pas non plus la propriété, alors \(t(Y) = XY\), et les cercles \(g(X)\) et \(g(Y)\) se recoupent en un point \(Z\). Alors \(f(XZ) = Z = f(YZ)\), donc \(Z\) a la propriété voulue.
Nous allons montrer que ce point \(P\) est le point cherché. Fixons désormais deux droites distinctes \(p_1\) et \(p_2\) telles que \(f(p_1) = f(p_2) = P\). Supposons par l'absurde que \(f(\ell) = Q \neq P\) pour une droite \(\ell\) passant par \(P\). Fixons \(\ell\), et notons que \(Q \in g(P)\).
Étape 2 : on prouve que \(P \in g(Q)\).
Prenons un point arbitraire \(X \in \ell \setminus \{P, Q\}\). Deux cas sont possibles pour la position de \(t(X)\) par rapport aux \(p_i\) ; nous montrons que chaque cas (et sous-cas) ne se produit que pour un nombre fini de positions de \(X\), ce qui est absurde. Précision ajoutée : on raisonne en supposant \(P \notin g(Q)\) (hypothèse utilisée au cas 2.1) ; le sous-cas 2.2.1 donne directement \(P \in g(Q)\).
Cas 2.1 : \(t(X)\) est parallèle à l'une des \(p_i\), disons à \(p_1\). Soit \(R\) le point où \(t(X)\) coupe \(p_2\). Alors \(g(R)\) est le cercle \((PRX)\), puisque \(f(RP) = P\) et \(f(RX) = X\). Soit \(S\) le second point d'intersection de \(RQ\) avec \(g(R)\). Alors \(f(RQ) \in \{R, S\} \cap g(Q)\), donc \(g(Q)\) contient l'un des points \(R\), \(S\).
Si \(R \in g(Q)\), alors \(R\) est l'un des points (en nombre fini) de \(g(Q) \cap p_2\), et chacun correspond à une unique position de \(X\), puisque \(RX\) est parallèle à \(p_1\).
Si \(S \in g(Q)\), alors \(\angle(QS, SP) = \angle(RS, SP) = \angle(RX, XP) = \angle(p_1, \ell)\) : l'angle \(\angle(QS, SP)\) est le même pour tous ces points \(X\), et tous les points \(S\) ainsi obtenus sont sur un même cercle \(\gamma\) passant par \(P\) et \(Q\). Comme \(g(Q)\) ne contient pas \(P\), il est différent de \(\gamma\), donc il n'y a qu'un nombre fini de points \(S\). Chacun d'eux détermine \(R\), donc \(X\). Ainsi le cas 2.1 ne se produit que pour un nombre fini de points \(X\). (Voir la figure.)
Cas 2.2 : \(t(X)\) coupe \(p_1\) et \(p_2\) en \(R_1\) et \(R_2\). On a \(R_1 \neq R_2\), car \(t(X)\) est la tangente à \(g(X)\) en \(X\) et \(g(X)\) rencontre \(\ell\) seulement en \(X\) et \(Q\). Remarquons que \(g(R_i)\) est le cercle \((PXR_i)\). Soit \(S_i\) le second point d'intersection de \(R_iQ\) avec \(g(R_i)\) ; on a \(S_i \neq Q\), car \(g(R_i)\) ne rencontre \(\ell\) qu'en \(P\) et \(X\). Alors \(f(R_iQ) \in \{R_i, S_i\}\), et l'on distingue plusieurs sous-cas.
Sous-cas 2.2.1 : \(f(R_1Q) = S_1\) et \(f(R_2Q) = S_2\), donc \(S_1, S_2 \in g(Q)\). Alors
ce qui montre que \(P \in g(Q)\).
Sous-cas 2.2.2 : \(f(R_1Q) = R_1\) et \(f(R_2Q) = R_2\), donc \(R_1, R_2 \in g(Q)\). Cela ne peut se produire que pour au plus quatre positions de \(X\) : les points d'intersection de \(\ell\) avec une droite \(K_1K_2\), où \(K_i \in g(Q) \cap p_i\).
Sous-cas 2.2.3 : \(f(R_1Q) = S_1\) et \(f(R_2Q) = R_2\) (le cas \(f(R_1Q) = R_1\), \(f(R_2Q) = S_2\) est analogue). Il y a alors au plus deux positions possibles pour \(R_2\) : les points d'intersection de \(g(Q)\) avec \(p_2\). Fixons l'une d'elles et faisons varier \(X\) sur \(\ell\). Alors \(R_1\) est la projection de \(X\) sur \(p_1\) depuis \(R_2\), et \(S_1\) est la projection de \(R_1\) sur \(g(Q)\) depuis \(Q\). Enfin,
donc \(X\) s'obtient à partir de \(S_1\) par une transformation projective fixée \(g(Q) \to \ell\). Ainsi, s'il y avait trois points \(X\) vérifiant les conditions de ce sous-cas, la composée des trois transformations projectives serait l'identité. Mais en l'appliquant à \(X = Q\), on obtient successivement un certain point \(R_1'\), puis \(R_2\), puis un point différent de \(Q\) : contradiction.
Le cas 2.2 ne se produit donc lui aussi que pour un nombre fini de points \(X\), comme voulu. Ainsi \(P \in g(Q)\).
Étape 3 : on montre que \(f(PQ) = P\), ce qui contredit \(f(\ell) = Q\).
L'argument est analogue à celui de l'étape 2, en échangeant les rôles de \(Q\) et \(X\). On montre à nouveau qu'il n'y a qu'un nombre fini de positions possibles pour un point \(X \in \ell \setminus \{P, Q\}\), ce qui est absurde.
Cas 3.1 : \(t(Q)\) est parallèle à l'une des \(p_i\), disons à \(p_1\). Soit \(R\) le point où \(t(Q)\) coupe \(p_2\) ; alors \(g(R)\) est le cercle \((PRQ)\). Soit \(S\) le second point d'intersection de \(RX\) avec \(g(R)\). Alors \(f(RX) \in \{R, S\} \cap g(X)\), donc \(g(X)\) contient l'un des points \(R\), \(S\).
Sous-cas 3.1.1 : \(S = f(RX) \in g(X)\). On a
donc \(t(X) \parallel p_2\). Reprenons alors le cas 2.1 : soit \(R_1\) le point où \(t(X)\) coupe \(p_1\), de sorte que \(g(R_1) = (PR_1X)\), et soit \(S'\) le second point d'intersection de \(R_1Q\) avec \(g(R_1)\) ; on a \(S' \neq Q\). Quitte à exclure une position de \(X\), on peut supposer \(R_1 \notin g(Q)\), donc \(R_1 \neq f(R_1Q)\). Par conséquent \(S' = f(R_1Q) \in g(Q)\). Mais alors, comme dans le cas 2.1,
Cela signifie que \(t(Q)\) est parallèle à \(p_2\), ce qui est impossible.
Sous-cas 3.1.2 : \(R = f(RX) \in g(X)\). Dans ce cas, \(\angle(t(X), \ell) = \angle(RX, RQ) = \angle(RX, p_1)\). Soit de nouveau \(R_1 = t(X) \cap p_1\) ; ce point existe pour toutes les positions de \(X\) sauf au plus une. Alors \(g(R_1) = (R_1XP)\) ; soit \(S'\) le second point d'intersection de \(R_1Q\) avec \(g(R_1)\). Comme \(\angle(R_1X, XR) = \angle(QX, QR) = \angle(\ell, p_1)\), le point \(R_1\) détermine \(X\) d'au plus deux façons ; donc, pour toutes les positions de \(X\) sauf un nombre fini, \(R_1 \notin g(Q)\). Pour ces positions, on a donc \(S' = f(R_1Q) \in g(Q)\). Mais alors
est fixé, donc ce cas ne peut se produire que pour une position particulière de \(X\).
Ainsi, dans le cas 3.1, il n'y a qu'un nombre fini de positions possibles pour \(X\) : contradiction.
Cas 3.2 : \(t(Q)\) coupe \(p_1\) et \(p_2\) en \(R_1\) et \(R_2\). D'après l'étape 2, \(R_1 \neq R_2\). Le cercle \(g(R_i)\) est le cercle \((PQR_i)\). Soit \(S_i\) le second point d'intersection de \(R_iX\) avec \(g(R_i)\) ; on a \(S_i \neq X\). Alors \(f(R_iX) \in \{R_i, S_i\}\), et l'on distingue plusieurs sous-cas.
Sous-cas 3.2.1 : \(f(R_1X) = S_1\) et \(f(R_2X) = S_2\), donc \(S_1, S_2 \in g(X)\). Comme dans le sous-cas 2.2.1,
ce qui montre que \(P \in g(X)\). Mais \(X\) et \(Q\) sont aussi sur \(g(X)\), donc \(g(X)\) rencontre \(\ell\) en trois points distincts, ce qui est absurde.
Sous-cas 3.2.2 : \(f(R_1X) = R_1\) et \(f(R_2X) = R_2\), donc \(R_1, R_2 \in g(X)\). Alors trois points distincts alignés \(R_1\), \(R_2\), \(Q\) sont sur \(g(X)\), ce qui est impossible.
Sous-cas 3.2.3 : \(f(R_1X) = S_1\) et \(f(R_2X) = R_2\) (le cas \(f(R_1X) = R_1\), \(f(R_2X) = S_2\) est analogue). On a
donc ce cas ne peut se produire que pour une unique position de \(X\).
Ainsi, dans le cas 3.2, il n'y a qu'une seule position possible pour \(X\), ce qui donne à nouveau la contradiction voulue. Donc \(f(\ell) = P\) pour toute droite \(\ell\) passant par \(P\). \(\blacksquare\)
Remarques¶
Remarque 1 (après la solution 3). Si tous les cercles \(g(X)\) passent par un même point \(P\), on peut en déduire que \(f\) a la forme donnée dans la solution 1. Pour toute droite \(\ell\) ne passant pas par \(P\), on définit un angle \(\alpha(\ell)\) correspondant, et il faut montrer qu'il est le même pour toutes ces droites. Pour tout point \(X \neq P\) par lequel passe au moins une droite \(\ell\) ne passant pas par \(P\) avec \(f(\ell) \neq X\), cet angle est le même pour toutes ces droites passant par \(X\) (angles inscrits dans \(g(X)\)). Considérons toutes les droites horizontales et verticales ne passant pas par \(P\). Pour une droite horizontale \(\ell_1\) et une droite verticale \(\ell_2\), on a \(\alpha(\ell_1) = \alpha(\ell_2)\) sauf si \(f(\ell_1)\) ou \(f(\ell_2)\) est leur point d'intersection. On forme le graphe biparti dont les sommets sont ces droites, une arête joignant une horizontale et une verticale de même valeur de \(\alpha\). Le sous-graphe induit par \(n\) horizontales et \(n\) verticales a au moins \(n^2 - 2n\) arêtes, donc une horizontale est reliée à au moins \(n - 2\) verticales. Ainsi, toutes les verticales sauf au plus deux ont la même valeur de \(\alpha\), de même pour les horizontales, et en se restreignant à des sous-ensembles convenables on voit que c'est la même valeur pour les deux directions. On étend ensuite à toutes les horizontales et verticales ne passant pas par \(P\) (et donc à toutes les directions, puisque « horizontal » et « vertical » peuvent être deux directions non parallèles quelconques) : pour une horizontale \(\ell_1\) ne passant pas par \(P\), on obtient \(\alpha(\ell_1) = \alpha\) en considérant son intersection avec toutes les verticales sauf au plus cinq (celle qui passe par \(P\), celle qui passe par \(f(\ell_1)\), au plus deux pour lesquelles \(\alpha(\ell) \neq \alpha\), et celle qui passe par \(h_{P,\alpha}(\ell_1)\)). Toutes les droites ne passant pas par \(P\) ont donc la même valeur de \(\alpha(\ell)\).