Shortlist 2019, N2

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Nigeria

Concepts : Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide

Solution officielle : Shortlist officielle 2019 (avec solutions), section N2 (livret PDF)

Énoncé

Find all triples \((a, b, c)\) of positive integers such that \(a^3 + b^3 + c^3 = (abc)^2\).

Indices : les idées clés

• Encadrement : avec \(a \geq b \geq c\), on a \(3a^3 \geq (abc)^2 > a^3\), ce qui lie fortement \(a\) et \(b^2c^2\).
• Divisibilité : \(a^2\) divise \(b^3 + c^3\), donc \(b^3 + c^3 \geq a^2\) ; combiné à l'encadrement, cela force \(c = 1\) puis borne \(b\) (ou \(a\)).
• Inégalité polynomiale en \(a\) (solution 3) : avec \(k = (b^3 + c^3)/a^2\), on obtient \(a \leq 3\).
• Monotonie d'une fonction auxiliaire (solution 4) : \(f(x) = x^2(b^2c^2 - x)\) est croissante puis décroissante, donc \(f(a) \geq \min(f(b), f(b^2c^2 - 1))\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2019 (quatre solutions et cinq remarques).

Réponse : les solutions sont \((1, 2, 3)\) et ses permutations.

Remarques communes. L'équation est symétrique. Dans toutes les solutions, on suppose sans perte de généralité \(a \geq b \geq c\) et l'on montre que la seule solution est \((a, b, c) = (3, 2, 1)\). Les deux premières solutions commencent par prouver que \(c = 1\).

Solution 1

Étape 1 : \(c = 1\). On a \(3a^3 \geq a^3 + b^3 + c^3 > a^3\), donc \(3a^3 \geq (abc)^2 > a^3\), c'est-à-dire \(3a \geq b^2c^2 > a\). Puis \(b^3 + c^3 = a^2(b^2c^2 - a) \geq a^2\) (la parenthèse est un entier strictement positif), et donc

\[18b^3 \geq 9(b^3 + c^3) \geq 9a^2 \geq b^4c^4 \geq b^3c^5,\]

d'où \(18 \geq c^5\), ce qui donne \(c = 1\).

Étape 2 : \(b \leq 4\). On a forcément \(a > b\) : sinon \(2b^3 + 1 = b^4\), équation sans solution entière positive. Donc

\[a^3 - b^3 \geq (b + 1)^3 - b^3 > 1 \quad \text{et} \quad 2a^3 > 1 + a^3 + b^3 > a^3,\]

ce qui donne \(2a^3 > a^2b^2 > a^3\), soit \(2a > b^2 > a\). Ainsi

\[4(1 + b^3) = 4a^2(b^2 - a) \geq 4a^2 > b^4,\]

donc \(4 > b^3(b - 4)\), c'est-à-dire \(b \leq 4\).

Étape 3 : cas restants. Pour chaque valeur \(2 \leq b \leq 4\) (le cas \(b = 1\) donnerait \(a^3 + 2 = a^2\), impossible), on obtient une équation du troisième degré en \(a\) :

\[b = 2 : a^3 - 4a^2 + 9 = 0, \qquad b = 3 : a^3 - 9a^2 + 28 = 0, \qquad b = 4 : a^3 - 16a^2 + 65 = 0.\]

Le seul cas ayant une solution entière avec \(a \geq b\) est \(b = 2\), \(a = 3\), d'où \((a, b, c) = (3, 2, 1)\). \(\blacksquare\)

Solution 2

Étape 1 : \(c = 1\). Supposons au contraire \(c \geq 2\). Comme \(a^3 + b^3 + c^3 \leq 3a^3\), on a \(b^2c^2 \leq 3a\) ; avec \(c \geq 2\), cela donne \(b \leq \sqrt{3a/4}\). Le membre de droite de l'équation est multiple de \(a^2\), donc \(a^2\) divise \(b^3 + c^3\), et \(a^2 \leq b^3 + c^3 \leq 2b^3 \leq 2(3a/4)^{3/2}\). Autrement dit \(a \leq \frac{27}{16} < 2\), ce qui contredit \(a \geq c \geq 2\). Donc \(c = 1\).

Étape 2 : \(a \leq 8\). L'équation devient \(a^3 + b^3 + 1 = a^2b^2\). On a \(a \geq 2\), sinon \(a = b = 1\), qui n'est pas solution. Le membre de droite est multiple de \(a^2\), donc le membre de gauche aussi, et \(b^3 + 1 \geq a^2\). Comme \(a \geq b\),

\[b^2 = a + \frac{b^3 + 1}{a^2} \leq a + \frac{a^3 + 1}{a^2} = 2a + \frac{1}{a^2},\]

donc \(b^2 \leq 2a\) puisque \(b^2\) est entier. Ainsi \((2a)^{3/2} + 1 \geq b^3 + 1 \geq a^2\), d'où l'on déduit \(a \leq 8\).

Étape 3 : cas restants. Pour chaque valeur \(2 \leq a \leq 8\), on obtient une équation du troisième degré en \(b\) :

\[\begin{aligned} a = 2 &: b^3 - 4b^2 + 9 = 0, & a = 3 &: b^3 - 9b^2 + 28 = 0, \\ a = 4 &: b^3 - 16b^2 + 65 = 0, & a = 5 &: b^3 - 25b^2 + 126 = 0, \\ a = 6 &: b^3 - 36b^2 + 217 = 0, & a = 7 &: b^3 - 49b^2 + 344 = 0, \\ a = 8 &: b^3 - 64b^2 + 513 = 0. \end{aligned}\]

Le seul cas ayant une solution entière avec \(a \geq b\) est \(a = 3\) (avec \(b = 2\)), d'où \((a, b, c) = (3, 2, 1)\). \(\blacksquare\)

Solution 3

Posons \(k = (b^3 + c^3)/a^2 \leq 2a\) et réécrivons l'équation sous la forme \(a + k = (bc)^2\). Comme dans la remarque 2 ci-dessous, \(k\) est un entier strictement positif. Puisque \(b^3\) et \(c^3\) sont des entiers positifs, \((bc)^3 \geq b^3 + c^3 - 1 = ka^2 - 1\), donc

\[a + k \geq (ka^2 - 1)^{2/3}.\]

Pour chaque \(k \geq 1\), cela donne une inégalité polynomiale vérifiée par \(a\) (en élevant au cube) :

\[k^2a^4 - a^3 - 5ka^2 - 3k^2a - (k^3 - 1) \leq 0.\]

Montrons que \(a \leq 3\). En effet, en divisant par \(k^2\) et en utilisant \(k \geq 1\) puis \(k \leq 2a\),

\[0 \geq \frac{k^2a^4 - a^3 - 5ka^2 - 3k^2a - (k^3 - 1)}{k^2} \geq a^4 - a^3 - 5a^2 - 3a - k \geq a^4 - a^3 - 5a^2 - 5a,\]

ce qui est faux dès que \(a \geq 4\).

Il reste dix triplets avec \(3 \geq a \geq b \geq c \geq 1\), que l'on vérifie à la main : seul \((a, b, c) = (3, 2, 1)\) convient. \(\blacksquare\)

Solution 4

On observe encore que \(b^3 + c^3 = a^2(b^2c^2 - a)\), donc \(b \leq a \leq b^2c^2 - 1\).

Considérons la fonction \(f(x) = x^2(b^2c^2 - x)\). Sur l'intervalle \([0, b^2c^2 - 1]\), \(f\) est croissante pour \(x < \frac{2}{3}b^2c^2\) et décroissante pour \(x > \frac{2}{3}b^2c^2\). Par conséquent

\[b^3 + c^3 = f(a) \geq \min\left(f(b), f(b^2c^2 - 1)\right).\]

Premier cas : \(b^3 + c^3 \geq f(b^2c^2 - 1)\). Cela s'écrit \(b^3 + c^3 \geq (b^2c^2 - 1)^2\), donc

\[2b^3 \geq b^3 + c^3 \geq (b^2c^2 - 1)^2 > b^4c^4 - 2b^2c^2 \geq b^4c^4 - 2b^3c^4.\]

Ainsi \((b - 2)c^4 < 2\), dont les seules solutions (avec \(c \leq b\)) sont \((b, c) = (2, 2)\), ou \(b \leq 3\) et \(c = 1\). On vérifie facilement que le seul cas donnant une solution avec \(a \geq b\) est \((a, b, c) = (3, 2, 1)\).

Second cas : \(b^3 + c^3 = f(a) \geq f(b)\). Alors

\[2b^3 \geq b^3 + c^3 = a^2(b^2c^2 - a) \geq b^2(b^2c^2 - b).\]

Donc \(bc^2 \leq 3\), avec inégalité stricte si \(b \neq c\). Ainsi \(c = 1\) et \(b \leq 2\). Ces cas ont déjà été traités, ce qui conclut. \(\blacksquare\)

Remarques

Remarque 1 (solution 1). Au lieu d'écrire chaque équation du troisième degré, on peut observer que \(a^2 \mid b^3 + 1\) et, pour chaque \(b\), tester les facteurs carrés de \(b^3 + 1\). On peut aussi remarquer qu'avec \(c = 1\), la relation \(18b^3 \geq b^4c^4\) donne \(b \leq 18\) et tester toutes ces valeurs (au lieu de prouver \(b \leq 4\)) ; c'est plus facile avec la factorisation \(b^3 + 1 = (b + 1)(b^2 - b + 1)\), en observant qu'aucun premier autre que \(3\) ne divise les deux facteurs.

Remarque 2 (solution 1). Une autre fin, une fois \(c = 1\) établi : poser \(k = b^2c^2 - a\), entier et strictement positif puisqu'il vaut \((b^3 + c^3)/a^2\). Si \(k = 1\), on a \(b^3 + 1 = a^2 = (b^2 - 1)^2\), dont la seule racine entière positive est \(b = 2\). Si \(k \geq 2\), on a \(b^2 \leq 3a\), donc

\[b^4 \leq (3a)^2 \leq \frac{9}{2}(ka^2) = \frac{9}{2}(b^3 + 1),\]

ce qui implique \(b \leq 4\).

Remarque 3 (solution 2). Comme pour la solution 1, au lieu d'écrire les équations du troisième degré, on peut observer que \(b^2 \mid a^3 + 1\) et tester les facteurs carrés de \(a^3 + 1\) pour chaque \(a\).

Remarque 4 (solution 2). Cette solution n'exige pas de prouver d'abord \(c = 1\) ; la borne devient alors \(a \leq 108\), et les cas correspondants pourraient en principe être vérifiés par un élève particulièrement travailleur.

Remarque 5 (solution 4). Au lieu de comparer \(f(b)\) et \(f(b^2c^2 - 1)\) à \(f(a)\), on peut distinguer selon que \(a \geq \frac{2}{3}b^2c^2\) ou \(a < \frac{2}{3}b^2c^2\). Le premier cas se traite ainsi : comme \(b^3\) et \(c^3\) sont des entiers positifs, \(b^3c^3 + 1 \geq b^3 + c^3\), donc

\[b^3c^3 + 1 \geq b^3 + c^3 \geq a^2 \geq \frac{4}{9}b^4c^4,\]

ce qui implique \(bc \leq 2\), d'où \(c = 1\) et \(b \leq 2\).