Shortlist 2020, G2¶
Domaine : Géométrie · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Poland
Concepts : Chasse aux angles et quadrilatères cycliques
Solution officielle : Shortlist officielle 2020 (avec solutions), p. 50 (page 52 du PDF)
Problème 1 de l'OIM 2020
Ce problème a été choisi parmi ceux de la shortlist pour l'épreuve de l'OIM 2020, où il était le problème 1 (jour 1).
Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.
Énoncé¶
Let \(ABCD\) be a convex quadrilateral. Suppose that \(P\) is a point in the interior of \(ABCD\) such that
The internal bisectors of angles \(ADP\) and \(PCB\) meet at a point \(Q\) inside the triangle \(ABP\). Prove that \(AQ = BQ\).
Indices : les idées clés
- Chasse aux angles et quadrilatères cycliques : avec \(\varphi = \angle PAD\) et \(\psi = \angle CBP\), toutes les données s'expriment en fonction de \(\varphi\) et \(\psi\), et l'on obtient des quadrilatères cycliques (\(AXPB\) en solution 1, \(ADPO\) en solution 2).
- Bissectrice = médiatrice (solution 1) : dans le triangle isocèle \(DPX\), la bissectrice issue de \(D\) est la médiatrice de \([XP]\).
- Le centre du cercle circonscrit à \(APB\) : c'est le point de concours cherché ; il est sur la médiatrice de \([AB]\), donc \(QA = QB\).
Solutions
Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2020 (deux solutions et une remarque).
Solution 1¶
Posons \(\varphi = \angle PAD\) et \(\psi = \angle CBP\) ; alors \(\angle PBA = 2\varphi\), \(\angle DPA = 3\varphi\), \(\angle BAP = 2\psi\) et \(\angle BPC = 3\psi\).
Soit \(X\) le point du segment \([AD]\) tel que \(\angle XPA = \varphi\). Alors
Le triangle \(DPX\) est donc isocèle avec \(DX = DP\), et la bissectrice intérieure de l'angle \(\angle ADP\) coïncide avec la médiatrice de \([XP]\). De même, si \(Y\) est le point de \([BC]\) tel que \(\angle BPY = \psi\), la bissectrice intérieure de \(\angle PCB\) coïncide avec la médiatrice de \([PY]\). Il s'agit donc de montrer que les médiatrices de \([XP]\), \([PY]\) et \([AB]\) sont concourantes (le point de concours sera alors \(Q\), qui vérifiera \(QA = QB\)).
Remarquons que
Le quadrilatère \(AXPB\) est donc cyclique : \(X\) est sur le cercle circonscrit au triangle \(APB\). De même, \(Y\) est sur ce cercle. Par conséquent, les médiatrices de \([XP]\), \([PY]\) et \([AB]\) passent toutes par le centre du cercle \((ABYPX)\). \(\blacksquare\)
Solution 2¶
On pose de nouveau \(\varphi = \angle PAD\), \(\psi = \angle CBP\), de sorte que \(\angle PBA = 2\varphi\), \(\angle DPA = 3\varphi\), \(\angle BAP = 2\psi\), \(\angle BPC = 3\psi\). Soit \(O\) le centre du cercle circonscrit au triangle \(APB\).
On a \(\angle ADP = 180^\circ - \angle PAD - \angle DPA = 180^\circ - 4\varphi\) ; en particulier \(4\varphi < 180^\circ\). Par l'angle au centre, \(\angle POA = 2\angle PBA = 4\varphi = 180^\circ - \angle ADP\) ; le quadrilatère \(ADPO\) est donc cyclique. Comme \(OA = OP\), les arcs \(OA\) et \(OP\) de ce cercle sont égaux, d'où \(\angle ADO = \angle ODP\) : la droite \(DO\) est la bissectrice intérieure de \(\angle ADP\). De même, \(CO\) est la bissectrice intérieure de \(\angle PCB\).
Enfin, \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\), puisque c'est le centre du cercle circonscrit à \(APB\). Les deux bissectrices se coupent donc en \(Q = O\), et \(QA = QB\). \(\blacksquare\)
Remarques¶
Remarque. L'introduction des points \(X\) et \(Y\) est l'étape clé de la solution 1. Le même point \(X\) peut être défini autrement, par exemple comme le point de la demi-droite \([CP)\) au-delà de \(P\) tel que \(\angle PBX = \varphi\), ou comme le second point d'intersection du cercle \((APB)\) avec \(AB\) (sic dans le livret ; vu la solution 1, il s'agit du second point d'intersection du cercle \((APB)\) avec la droite \(AD\)). Ces différentes définitions conduisent à différentes variantes de la suite de la solution.