Shortlist 2020, G4

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Iran

Concepts : Principe des tiroirs · Récurrence et constructions récursives

Solution officielle : Shortlist officielle 2020 (avec solutions), p. 53 (page 55 du PDF)

Énoncé

In the plane, there are \(n \geq 6\) pairwise disjoint disks \(D_1, D_2, \ldots, D_n\) with radii \(R_1 \geq R_2 \geq \cdots \geq R_n\). For every \(i = 1, 2, \ldots, n\), a point \(P_i\) is chosen in disk \(D_i\). Let \(O\) be an arbitrary point in the plane. Prove that

\[OP_1 + OP_2 + \cdots + OP_n \geq R_6 + R_7 + \cdots + R_n.\]

(A disk is assumed to contain its boundary.)

Indices : les idées clés

• Un lemme pour six disques : parmi six disques disjoints, il existe \(i, j\) avec \(OP_i \geq R_j\).
• Principe des tiroirs : six demi-droites issues de \(O\) découpent \(360^\circ\) en six angles, donc l'un d'eux mesure au plus \(60^\circ\).
• Plus grand côté et plus grand angle : dans un triangle, un angle d'au plus \(60^\circ\) ne fait pas face à l'unique plus grand côté ; on conclut par l'inégalité triangulaire.
• Récurrence et constructions récursives : récurrence sur \(n\), en retirant le disque fourni par le lemme.

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2020 (une solution et trois remarques).

Solution

Nous utilisons le lemme suivant.

Lemme. Soient \(D_1, \ldots, D_6\) des disques disjoints du plan, de rayons \(R_1, \ldots, R_6\), soit \(P_i\) un point de \(D_i\) et soit \(O\) un point quelconque. Alors il existe des indices \(i\) et \(j\) tels que \(OP_i \geq R_j\).

Preuve. Soit \(O_i\) le centre de \(D_i\). Considérons les six demi-droites \([OO_1), \ldots, [OO_6)\) (si \(O = O_i\), on peut donner à \([OO_i)\) une direction arbitraire). Elles partagent le plan en six angles (dont l'un peut être non convexe), de somme \(360^\circ\) ; d'après le principe des tiroirs, l'un d'eux, disons \(\angle O_iOO_j\), mesure au plus \(60^\circ\). Alors \(O_iO_j\) ne peut pas être l'unique plus grand côté du triangle (éventuellement dégénéré) \(OO_iO_j\) : l'angle opposé n'est pas l'unique plus grand angle. Quitte à échanger \(i\) et \(j\), on a donc \(OO_i \geq O_iO_j \geq R_i + R_j\), la dernière inégalité venant de ce que les disques sont disjoints. Par conséquent,

\[OP_i \geq OO_i - R_i \geq (R_i + R_j) - R_i = R_j. \qquad \square\]

Démontrons maintenant l'inégalité par récurrence sur \(n \geq 5\). Le cas \(n = 5\) est trivial (le membre de droite est une somme vide, nulle). Pour l'hérédité, appliquons le lemme aux six plus grands disques : on trouve des indices \(i, j\) avec \(1 \leq i, j \leq 6\) et \(OP_i \geq R_j \geq R_6\). En retirant \(D_i\) de la configuration et en appliquant l'hypothèse de récurrence aux \(n - 1\) disques restants (dont le sixième plus grand rayon est \(R_7\), puis \(R_8\), etc.), on obtient

\[\sum_{k \neq i} OP_k \geq \sum_{\ell \geq 7} R_\ell.\]

En ajoutant l'inégalité \(OP_i \geq R_6\), on obtient l'hérédité. \(\blacksquare\)

Remarques

Remarque 1. Que les disques contiennent ou non leur bord ne joue aucun rôle ; cette précision n'est là que par souci de clarté. L'énoncé reste vrai, avec la même preuve, si l'on suppose seulement que les disques ont des intérieurs disjoints.

Remarque 2. Il existe plusieurs variantes de la solution. Par exemple, dans l'hérédité, on peut retirer le disque pour lequel \(OP_i\) est le plus grand et appliquer l'hypothèse de récurrence aux autres (le lemme doit toujours être appliqué aux six plus grands disques).

Remarque 3. Dans la preuve du lemme, on peut se ramener au cas de disques de même rayon : si \(r\) est le plus petit rayon, on remplace chaque disque \(D_i\) par son image par l'homothétie de centre \(P_i\) et de rapport \(r / R_i\). Le lemme est ainsi étroitement lié aux problèmes d'empilement de cercles dans un cercle (voir par exemple https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_circle). Les résultats connus sur ces empilements donnent des variantes du lemme pour d'autres nombres de disques, et donc d'autres inégalités du même type : pour \(4\) disques, la meilleure estimation est \(OP_i \geq (\sqrt{2} - 1)R_j\), et pour \(13\) disques \(OP_i \geq \sqrt{5}\, R_j\). En raisonnant comme ci-dessus, on obtient

\[\sum_{i=1}^{n} OP_i \geq (\sqrt{2} - 1)\sum_{j=4}^{n} R_j \qquad \text{et} \qquad \sum_{i=1}^{n} OP_i \geq \sqrt{5} \sum_{j=13}^{n} R_j.\]

Des arguments plus difficiles permettent d'améliorer ces inégalités, c'est-à-dire d'affecter les \(R_j\) d'indices élevés de coefficients bien plus grands.