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Shortlist 2021, N1

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide · Équations diophantiennes : factorisation et encadrement

Solution officielle : Shortlist officielle 2021 (avec solutions), p. 68 (page 68 du PDF)

Énoncé

Determine all integers \(n \geq 1\) for which there exists a pair of positive integers \((a, b)\) such that no cube of a prime divides \(a^2 + b + 3\) and

\[\frac{ab + 3b + 8}{a^2 + b + 3} = n.\]
Indices : les idées clés
  • Congruences : modulo \(a^2 + b + 3\), on remplace \(b\) par \(-a^2 - 3\), et le numérateur devient \(-(a+1)^3\).
  • Divisibilité et PGCD : un diviseur de \((a+1)^3\) sans facteur cube divise \((a+1)^2\).
  • Encadrement : \(0 < (a+1)^2 < 2(a^2 + b + 3)\) force l'égalité \((a+1)^2 = a^2 + b + 3\).
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2021 (une solution).

Réponse : seul \(n = 2\) convient.

Solution 1

Notons \(D = a^2 + b + 3\). Comme \(b \equiv -a^2 - 3 \pmod{D}\), le numérateur vérifie la congruence

\[ab + 3b + 8 \equiv a(-a^2 - 3) + 3(-a^2 - 3) + 8 = -a^3 - 3a^2 - 3a - 1 = -(a+1)^3 \pmod{D}.\]

Puisque la fraction vaut l'entier \(n\), \(D\) divise le numérateur, donc \(D \mid (a+1)^3\).

Comme \(D\) n'est divisible par \(p^3\) pour aucun premier \(p\), chaque premier \(p\) divisant \(D\) y figure avec un exposant \(1\) ou \(2\) ; et \(p \mid (a+1)^3\) entraîne \(p \mid a+1\), donc \(p^2 \mid (a+1)^2\). Ainsi \(D\) divise aussi \((a+1)^2\).

Or

\[0 < (a+1)^2 < 2(a^2 + b + 3) = 2D,\]

car \(2(a^2 + b + 3) - (a+1)^2 = (a-1)^2 + 2b + 4 > 0\). Le seul multiple de \(D\) strictement compris entre \(0\) et \(2D\) est \(D\) lui-même, donc (encadrement)

\[(a+1)^2 = a^2 + b + 3, \quad \text{c'est-à-dire} \quad b = 2(a-1).\]

Alors \(ab + 3b + 8 = 2(a-1)(a+3) + 8 = 2(a+1)^2 = 2D\), donc \(n = 2\).

Réciproquement, \((a, b) = (2, 2)\) donne \(a^2 + b + 3 = 9\), qui n'est divisible par aucun cube de premier, et \(\frac{ab + 3b + 8}{a^2 + b + 3} = \frac{18}{9} = 2\). Donc \(n = 2\) est bien solution, et c'est la seule. \(\blacksquare\)