Shortlist 2022, G2

Domaine : Géométrie · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Netherlands

Concepts : Puissance d'un point et axe radical · Chasse aux angles et quadrilatères cycliques

Solution officielle : Shortlist officielle 2022 (avec solutions), p. 46 (page 48 du PDF)

Figures reprises du livret officiel de la Shortlist.

Énoncé

In the acute-angled triangle \(ABC\), the point \(F\) is the foot of the altitude from \(A\), and \(P\) is a point on the segment \(AF\). The lines through \(P\) parallel to \(AC\) and \(AB\) meet \(BC\) at \(D\) and \(E\), respectively. Points \(X \neq A\) and \(Y \neq A\) lie on the circles \(ABD\) and \(ACE\), respectively, such that \(DA = DX\) and \(EA = EY\).

Prove that \(B\), \(C\), \(X\) and \(Y\) are concyclic.

Indices : les idées clés

• Puissance d'un point et axe radical : il suffit de montrer que \(A_1 = BX \cap CY\) est sur l'axe radical des cercles \(ABDX\) et \(ACEY\), et cet axe radical est la hauteur \(AF\).
• Symétrie par rapport à \(BC\) : comme \(D\) est le milieu d'un arc \(AX\), la droite \(BX\) est la symétrique de \(BA\) par rapport à \(BC\) ; donc \(A_1\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(BC\).
• Parallèles et rapports (Thalès) (solution 1) : \(FD \cdot FB = FE \cdot FC\).
• Chasse aux angles et quadrilatères cycliques (solution 2) : le second point commun des deux cercles est sur le cercle \(PDE\) et sur \(AP\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2022 (deux solutions).

Solution 1

Soit \(A_1\) le point d'intersection des droites \(BX\) et \(CY\). Par la puissance d'un point, il suffit de prouver que \(A_1B \cdot A_1X = A_1C \cdot A_1Y\), autrement dit que \(A_1\) est sur l'axe radical des cercles \(ABDX\) et \(ACEY\).

Comme \(DA = DX\), dans le cercle \(ABDX\) le point \(D\) est le milieu de l'un des arcs \(AX\). Donc, selon l'ordre des points, la droite \(BC\) est la bissectrice intérieure ou extérieure de \(\angle ABX\). Dans les deux cas, la droite \(BX\) est la symétrique de \(BA\) par rapport à la droite \(BDC\). De même, la droite \(CY\) est la symétrique de \(CA\) par rapport à \(BC\). On en déduit que \(A_1\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(BC\) ; ainsi \(A\), \(F\) et \(A_1\) sont alignés.

Puisque \(PD \parallel AC\) et \(PE \parallel AB\), on a (Thalès)

\[\frac{FD}{FC} = \frac{FP}{FA} = \frac{FE}{FB}, \quad \text{d'où} \quad FD \cdot FB = FE \cdot FC.\]

Le point \(F\) a donc la même puissance par rapport aux cercles \(ABDX\) et \(ACEY\). Le point \(A\), commun aux deux cercles, a aussi des puissances égales. L'axe radical des deux cercles est donc la hauteur \(AF\), qui passe par \(A_1\). \(\blacksquare\)

(Voir la figure, où \(A'\) désigne \(A_1\).)

Solution 2

On donne une autre façon de prouver que la droite \(APA_1\) est l'axe radical des cercles \(ABD\) et \(ACE\) (le reste est comme dans la solution 1). Il suffit de montrer que le second point d'intersection des cercles \(ABD\) et \(ACE\) est sur \(AP\).

Soit \(N\) le second point d'intersection du cercle \(PDE\) avec la droite \(AP\). Par chasse aux angles,

\[\angle DNA = \angle DNP = \angle DEP = \angle DBA,\]

(la dernière égalité car \(PE \parallel AB\)), donc \(N\) est sur le cercle \(ABD\) ; de même, \(N\) est sur le cercle \(ACE\). Ainsi \(N\) est le second point commun des deux cercles et la droite \(AN = AP\) est leur axe radical. \(\blacksquare\)