Shortlist 2022, N1

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★☆☆☆☆ · Proposé par : Cyprus

Concepts : Équations diophantiennes : factorisation et encadrement · Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide

Solution officielle : Shortlist officielle 2022 (avec solutions), p. 60 (page 62 du PDF)

Énoncé

A number is called Norwegian if it has three distinct positive divisors whose sum is equal to \(2022\). Determine the smallest Norwegian number.

(Note: The total number of positive divisors of a Norwegian number is allowed to be larger than \(3\).)

Indices : les idées clés

• Écrire les diviseurs sous la forme \(N/a\), \(N/b\), \(N/c\) : la condition devient \(2022 = N\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)\).
• Encadrement : si \(N < 1344\), la somme \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\) dépasse \(\frac{3}{2}\), ce qui force \(a = 1\) et \(b \in \{2, 3\}\).
• PGCD et divisibilité : dans le cas \(b = 2\), \((3c+2)N = 4044c\) et \(\operatorname{pgcd}(c, 3c+2) \mid 2\) donnent \(3c + 2 \mid 2^3 \cdot 337\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2022 (une solution).

Réponse : \(1344\).

Solution

Le nombre \(1344\) est norvégien : \(6\), \(672\) et \(1344\) sont trois diviseurs distincts de \(1344\) et \(6 + 672 + 1344 = 2022\). Il reste à montrer que c'est le plus petit.

Supposons par l'absurde que \(N < 1344\) soit norvégien, et écrivons ses trois diviseurs distincts sous la forme \(N/a\), \(N/b\), \(N/c\) avec \(a < b < c\). Alors

\[2022 = N\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) < 1344\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right),\]

donc

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{2022}{1344} = \frac{337}{224} = \frac{3}{2} + \frac{1}{224}.\]

Encadrement. Si \(a > 1\), alors

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12} < \frac{3}{2},\]

donc nécessairement \(a = 1\). De même, on doit avoir \(b < 4\), sinon

\[1 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < \frac{3}{2}.\]

Il reste deux cas : \(b = 2\) et \(b = 3\).

Cas \(b = 3\). Alors

\[\frac{1}{c} > \frac{3}{2} + \frac{1}{224} - 1 - \frac{1}{3} > \frac{1}{6},\]

donc \(c = 4\) ou \(c = 5\). Si \(c = 4\),

\[2022 = N\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{19}{12}N,\]

ce qui est impossible car \(19 \nmid 2022\). Si \(c = 5\),

\[2022 = N\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) = \frac{23}{15}N,\]

ce qui est de nouveau impossible car \(23 \nmid 2022\).

Cas \(b = 2\). On a \(c < 224\) car

\[\frac{1}{c} > \frac{3}{2} + \frac{1}{224} - 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{224}.\]

Par ailleurs,

\[2022 = N\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{c}\right) = \frac{3c + 2}{2c}N \quad\Longrightarrow\quad (3c + 2)N = 4044c.\]

Comme \(\operatorname{pgcd}(c, 3c + 2) = \operatorname{pgcd}(c, 2) \in \{1, 2\}\), on obtient \(3c + 2 \mid 8088 = 2^3 \cdot 3 \cdot 337\), et comme \(3c + 2\) n'est pas divisible par \(3\), \(3c + 2 \mid 2^3 \cdot 337\). (Le livret écrit \(\operatorname{pgcd}(c, 3c - 2)\) ; il faut lire \(3c + 2\).) Mais \(3c + 2 \geq 3 \cdot 3 + 2 > 8 = 2^3\) (car \(c > b = 2\)) et \(3c + 2 \neq 337\) (\(335\) n'est pas divisible par \(3\)) ; donc \(3c + 2 \geq 2 \cdot 337\), ce qui contredit \(c < 224\).

Dans tous les cas on aboutit à une contradiction : le plus petit nombre norvégien est \(1344\). \(\blacksquare\)