Shortlist 2024, N3¶

Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Singapore

Concepts : Valuations p-adiques et lemme LTE · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler

Solution officielle : Shortlist officielle 2024 (avec solutions), section N3 (livret PDF)

Énoncé¶

Determine all sequences \(a_1, a_2, \ldots\) of positive integers such that, for any pair of positive integers \(m \leq n\), the arithmetic and geometric means

\[\frac{a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n}{n - m + 1} \quad \text{and} \quad (a_m a_{m+1} \cdots a_n)^{\frac{1}{n - m + 1}}\]

are both integers.

Indices : les idées clés

Suites « bonnes » : si toutes les moyennes arithmétiques de blocs consécutifs sont entières, alors \(n - m \mid b_n - b_m\).
Valuations \(p\)-adiques : la moyenne géométrique est entière si et seulement si, pour chaque premier \(p\), la suite \((v_p(a_i))\) a toutes ses moyennes de blocs entières.
Une valeur prise une infinité de fois (solution 1) : une différence divisible par une infinité d'entiers est nulle, donc la suite est constante.
Petit théorème de Fermat (solution 2) : les termes non divisibles par \(p\) sont tous congrus entre eux modulo \(p\).

Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2024 (trois solutions).

Réponse : les seules suites qui conviennent sont les suites constantes (qui conviennent clairement).

Solution 1¶

On dit qu'une suite d'entiers \(b_1, b_2, \ldots\) est bonne si, pour tous entiers \(m \leq n\), la moyenne arithmétique \(\frac{b_m + b_{m+1} + \cdots + b_n}{n - m + 1}\) est entière. Comme \((a_m a_{m+1} \cdots a_n)^{\frac{1}{n-m+1}}\) est entier si et seulement si, pour tout premier \(p\), \(\frac{v_p(a_m) + \cdots + v_p(a_n)}{n - m + 1}\) est entier, la condition de l'énoncé équivaut à : la suite \((a_i)\) et les suites \((v_p(a_i))\), pour tous les premiers \(p\), sont bonnes (valuations \(p\)-adiques).

Affirmation 1. Si \((b_i)\) est bonne, alors \(n - m \mid b_n - b_m\) pour tous \(m < n\).

Preuve. L'entier \(n - m\) divise \(b_m + b_{m+1} + \cdots + b_{n-1}\) et \(b_{m+1} + b_{m+2} + \cdots + b_n\) (sommes de \(n - m\) termes consécutifs) ; il divise donc leur différence \(b_n - b_m\). \(\square\)

Affirmation 2. Si \((b_i)\) est bonne et qu'un entier \(b\) apparaît une infinité de fois dans la suite, alors \((b_i)\) est constante.

Preuve. Soient \(b_{n_1}, b_{n_2}, b_{n_3}, \ldots\) égaux à \(b\). Pour tout \(m\), l'entier \(b - b_m = b_{n_j} - b_m\) est divisible par une infinité d'entiers distincts \(n_j - m\), donc il est nul. La suite est donc constante. \(\square\)

Fixons un premier \(p\) et considérons la suite \((v_p(a_i))\). Soit \(k = v_p(a_1)\). L'affirmation 1, appliquée à la suite bonne \((a_i)\), montre que \(a_1 \equiv a_{np^{k+1} + 1} \pmod{p^{k+1}}\) pour tout \(n\), ce qui entraîne \(v_p(a_{np^{k+1}+1}) = k\) pour tout \(n\). La valeur \(k\) apparaît donc une infinité de fois dans la suite bonne \((v_p(a_i))\), qui est constante d'après l'affirmation 2. Ceci vaut pour tout premier \(p\), donc \((a_i)\) est constante. \(\blacksquare\)

Solution 2¶

Comme dans l'affirmation 1 de la solution 1, on a \(a_{i+r} \equiv a_i \pmod r\) ; en particulier, pour tout premier \(p\), la suite \((a_i)\) est périodique modulo \(p\), de période \(p\). Par un argument analogue, \(\frac{a_{i+r}}{a_i}\) est la puissance \(r\)-ième d'un rationnel (c'est le quotient des puissances \(r\)-ièmes des moyennes géométriques de \(a_{i+1}, \ldots, a_{i+r}\) et de \(a_i, \ldots, a_{i+r-1}\)).

Fixons un premier \(p\) et supposons que, pour certains \(i \not\equiv j \pmod p\), on ait \(a_i, a_j \not\equiv 0 \pmod p\). Comme \(p\) et \(p - 1\) sont premiers entre eux, on peut trouver (restes chinois) \(i' \equiv i \pmod p\) et \(j' \equiv j \pmod p\) tels que \(p - 1 \mid i' - j'\). Alors \(\frac{a_{i'}}{a_{j'}}\) est une puissance \((p-1)\)-ième d'un rationnel, donc

\[a_{i'} = t u^{p-1}, \qquad a_{j'} = t v^{p-1}\]

pour des entiers positifs \(t, u, v\) non divisibles par \(p\). D'après le petit théorème de Fermat, \(u^{p-1}\) et \(v^{p-1}\) sont congrus à \(1\) modulo \(p\). Donc

\[a_i \equiv a_{i'} \equiv t \equiv a_{j'} \equiv a_j \pmod p.\]

Ainsi, toutes les valeurs \(a_i\) non divisibles par \(p\) sont congrues entre elles modulo \(p\), disons à \(t\).

La somme de \(p\) termes consécutifs doit être divisible par \(p\) ; elle est congrue à \(N t\) modulo \(p\), où \(N \in \{0, \ldots, p\}\) est le nombre de ces termes non divisibles par \(p\). Donc \(N = 0\) ou \(N = p\), et par périodicité tous les \(a_i\) sont congrus entre eux modulo \(p\). Comme ceci vaut pour tout premier \(p\), \(a_i - a_j\) est divisible par tous les nombres premiers, donc nul : la suite est constante. \(\blacksquare\)

Solution 3¶

Fixons un indice \(m\).

\(a_m\) divise \(a_n\) pour \(n\) assez grand. Soit \(n\) tel que \(n > v_p(a_m) + m\) pour tout premier \(p\) (il n'y a qu'un nombre fini de \(p\) avec \(v_p(a_m) > 0\)). D'après l'affirmation 1 de la solution 1, appliquée à la suite bonne \((v_p(a_i))\),

\[v_p(a_m) \equiv v_p(a_n) \pmod{n - m}.\]

Comme \(0 \leq v_p(a_m) < n - m\), il en découle \(v_p(a_m) \leq v_p(a_n)\). Ceci vaut pour tout premier \(p\), donc \(a_m \mid a_n\) (valuations \(p\)-adiques).

\(a_m\) divise tous les termes. Supposons qu'il existe un indice \(k\) tel que \(a_m \nmid a_k\). D'après ce qui précède, il existe un tel \(k\) maximal. Alors \(a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots\) sont tous divisibles par \(a_m\). Mais la condition sur les moyennes arithmétiques (bloc de \(a_m\) termes) donne

\[a_m \mid a_k + a_{k+1} + \cdots + a_{k + a_m - 1},\]

donc \(a_m \mid a_k\) : contradiction. Ainsi \(a_m\) divise tous les \(a_n\).

Comme \(m\) est arbitraire, \(a_m \mid a_n\) et \(a_n \mid a_m\) pour tous \(m, n\) : la suite est constante. \(\blacksquare\)