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Shortlist 2016, A6

Domaine : Algèbre · Difficulté : ★★★★☆ · Proposé par : non indiqué

Concepts : Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation

Solution officielle : Shortlist officielle 2016 (avec solutions), p. 20 (page 23 du PDF)

Problème 5 de l'OIM 2016

Ce problème a été choisi parmi ceux de la shortlist pour l'épreuve de l'OIM 2016, où il était le problème 5 (jour 2).

Pas encore relu

Les concepts et la rédaction de cette page n'ont pas encore été vérifiés.

Énoncé

The equation

\[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)\]

is written on the board. One tries to erase some linear factors from both sides so that each side still has at least one factor, and the resulting equation has no real roots. Find the least number of linear factors one needs to erase to achieve this.

Indices : les idées clés
  • Minoration immédiate : les \(2016\) facteurs sont communs aux deux membres ; s'il en restait un commun, il donnerait une racine réelle.
  • Répartition selon les classes modulo \(4\) : à gauche les facteurs \((x - k)\) avec \(k \equiv 0, 1 \pmod 4\), à droite ceux avec \(k \equiv 2, 3 \pmod 4\), regroupés par paires.
  • Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation : on étudie le signe des produits de facteurs sur chaque intervalle entre les racines.
  • Écrire l'équation comme « produit \(= 1\) » : chaque facteur \(1 \pm \frac{2}{(\ldots)(\ldots)}\) est du même côté de \(1\), d'où la contradiction.
Solutions

Les solutions ci-dessous suivent les solutions officielles de la Shortlist 2016 (une solution et une remarque).

Réponse. \(2016\).

Solution

Comme les deux membres ont \(2016\) facteurs linéaires en commun, il faut effacer au moins \(2016\) facteurs : sinon un facteur \((x - k)\) resterait des deux côtés et \(x = k\) serait une racine réelle. Montrons que l'équation n'a pas de racine réelle si l'on efface à gauche tous les facteurs \((x - k)\) avec \(k \equiv 2, 3 \pmod 4\), et à droite tous les facteurs \((x - m)\) avec \(m \equiv 0, 1 \pmod 4\) (on efface ainsi exactement \(1008 + 1008 = 2016\) facteurs). Il suffit de montrer qu'aucun réel \(x\) ne vérifie

\[\prod_{j=0}^{503} (x - 4j - 1)(x - 4j - 4) = \prod_{j=0}^{503} (x - 4j - 2)(x - 4j - 3). \tag{1}\]

On étudie le signe des produits sur chaque intervalle délimité par les racines \(1, 2, \ldots, 2016\).

Cas 1 : \(x \in \{1, 2, \ldots, 2016\}\). Un membre de (1) est nul et l'autre non : \(x\) n'est pas solution.

Cas 2 : \(4k + 1 < x < 4k + 2\) ou \(4k + 3 < x < 4k + 4\) pour un \(k \in \{0, 1, \ldots, 503\}\). Pour \(j \neq k\), le produit \((x - 4j - 1)(x - 4j - 4)\) est positif (les deux facteurs ont le même signe, car \(x\) n'est pas entre \(4j + 1\) et \(4j + 4\)). Pour \(j = k\), le produit \((x - 4k - 1)(x - 4k - 4)\) est négatif. Le membre de gauche de (1) est donc négatif. En revanche, chaque produit \((x - 4j - 2)(x - 4j - 3)\) du membre de droite est positif. Contradiction.

Cas 3 : \(x < 1\), ou \(x > 2016\), ou \(4k < x < 4k + 1\) pour un \(k \in \{1, 2, \ldots, 503\}\). On réécrit (1) sous la forme

\[1 = \prod_{j=0}^{503} \frac{(x - 4j - 1)(x - 4j - 4)}{(x - 4j - 2)(x - 4j - 3)} = \prod_{j=0}^{503} \left(1 - \frac{2}{(x - 4j - 2)(x - 4j - 3)}\right),\]

en utilisant \((x - 4j - 1)(x - 4j - 4) = (x - 4j - 2)(x - 4j - 3) - 2\). Dans ce cas, \(x\) est à distance au moins \(1\) de l'intervalle \([4j + 2, 4j + 3]\), donc \((x - 4j - 2)(x - 4j - 3) > 2\) pour tout \(0 \leq j \leq 503\). Chaque facteur du produit est alors strictement compris entre \(0\) et \(1\), donc le produit est strictement inférieur à \(1\) : impossible.

Cas 4 : \(4k + 2 < x < 4k + 3\) pour un \(k \in \{0, 1, \ldots, 503\}\). On regroupe cette fois les facteurs autrement et on réécrit (1) sous la forme

\[1 = \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x - 2016}{x - 2015} \cdot \prod_{j=1}^{503} \frac{(x - 4j)(x - 4j - 1)}{(x - 4j + 1)(x - 4j - 2)} = \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x - 2016}{x - 2015} \cdot \prod_{j=1}^{503} \left(1 + \frac{2}{(x - 4j + 1)(x - 4j - 2)}\right).\]

Clairement, \(\frac{x - 1}{x - 2}\) et \(\frac{x - 2016}{x - 2015}\) sont tous deux strictement supérieurs à \(1\). Pour \(x\) dans ce domaine, chaque facteur du produit est aussi strictement supérieur à \(1\) (le produit \((x - 4j + 1)(x - 4j - 2)\) est positif car \(x\) n'est pas dans \([4j - 1, 4j + 2]\)). Le membre de droite est donc strictement supérieur à \(1\) : contradiction.

D'après les quatre cas, (1) n'a pas de racine réelle. Le nombre minimal de facteurs à effacer est donc \(2016\). \(\blacksquare\)

Remarques

Remarque 1 (le cas général). Remplaçons \(2016\) par un entier \(n \geq 1\). La solution ci-dessus fonctionne aussi bien lorsque \(4 \mid n\).

  • Si \(n \equiv 2 \pmod 4\), on peut garder \(l(x) = (x - 1)(x - 2) \cdots \left(x - \frac{n}{2}\right)\) à gauche et \(r(x) = \left(x - \frac{n}{2} - 1\right) \cdots (x - n)\) à droite. On vérifie que \(|l(x)| < |r(x)|\) pour \(x < \frac{n+1}{2}\) et \(|l(x)| > |r(x)|\) pour \(x > \frac{n+1}{2}\).
  • Si \(n \equiv 3 \pmod 4\), on peut garder \(l(x) = (x - 1)(x - 2) \cdots \left(x - \frac{n+1}{2}\right)\) à gauche et \(r(x) = \left(x - \frac{n+3}{2}\right)\left(x - \frac{n+5}{2}\right) \cdots (x - n)\) à droite. Pour \(x < 1\) ou \(\frac{n+1}{2} < x < \frac{n+3}{2}\), on a \(l(x) > 0 > r(x)\) ; pour \(1 < x < \frac{n+1}{2}\), \(|l(x)| < |r(x)|\) ; pour \(x > \frac{n+3}{2}\), \(|l(x)| > |r(x)|\).
  • Si \(n \equiv 1 \pmod 4\), la situation est moins maîtrisée. Comme la construction pour \(n - 1 \equiv 0 \pmod 4\) fonctionne, la réponse est \(n\) ou \(n - 1\). Pour \(n = 5\), on peut garder \((x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)\) et \((x - 5)\). Pour \(n = 9\), le seul exemple qui marche est \(l(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 9)\) et \(r(x) = (x - 3)(x - 4) \cdots (x - 8)\), et il semble n'y avoir aucune telle partition pour \(n = 13\).