Feuille de route¶

Cette feuille de route s'adresse à toi si tu débutes en olympiades ou si tu as déjà fait quelques compétitions sans encore te sentir à l'aise sur les problèmes de l'OIM. Elle dit dans quel ordre travailler les 40 concepts du site, domaine par domaine, combien de temps y consacrer et comment savoir que tu es prêt à passer à l'étape suivante.

Compte environ un an à raison de 5 à 6 heures par semaine. Les durées sont indicatives : avance plus vite si les problèmes-repères te résistent peu, ralentis si tu dois souvent lire les solutions.

Un mot sur la difficulté

Même un problème noté ★ est un problème de shortlist, donc du niveau d'un problème 1 ou 4 de l'OIM. C'est difficile pour un débutant, et c'est normal. Les exercices d'échauffement de chaque fiche concept sont là pour faire le pont : commence toujours par eux.

Vue d'ensemble¶

Étape	Durée	Niveau visé	Objectif
0. Les bases	4 à 6 semaines	exercices d'échauffement	maîtriser les outils de lycée et la rédaction d'une preuve
1. Fondations	12 semaines	★	un ou deux concepts centraux par domaine
2. Consolidation	16 semaines	★ et ★★	les autres concepts courants, premiers mélanges
3. Vers le niveau intermédiaire	12 semaines et plus	★★, quelques ★★★	concepts plus spécialisés, problèmes mixtes, séances chronométrées

Les concepts les plus avancés (inversion, outils projectifs, résidus quadratiques…) sont regroupés à la fin, dans Pour plus tard.

Comment travailler¶

Le rythme. Avance par cycles de quatre semaines, une semaine par domaine : algèbre, combinatoire, géométrie, théorie des nombres. À chaque cycle, tu avances d'un concept dans chaque domaine. Tu gardes ainsi les quatre domaines en tête, sans jamais rester trop longtemps loin de l'un d'eux.

Une semaine type (5 à 6 heures) :

Lire la fiche du concept (1 h) : l'idée, l'exemple résolu, « Comment le reconnaître ». Refais l'exemple résolu sans regarder la solution.
Les exercices d'échauffement (1 h 30) de la fiche.
Un problème long (1 h 30 à 2 h) : le premier problème du parcours suggéré de la fiche que tu n'as pas encore résolu.
Rédiger (45 min) : écris proprement ta solution, comme pour un correcteur, puis compare-la à la solution officielle.
Revoir (45 min) : reprends un problème marqué « à revoir » dans Mon suivi.

Face à un problème. Cherche au moins 30 à 45 minutes avant d'ouvrir le bloc Indices : les idées clés. Fais des cas particuliers, des figures, des petits exemples. Ouvre un seul indice à la fois et recherche encore 15 minutes avant le suivant. Ne lis la solution qu'en dernier recours.

Garder une trace. Sur chaque page de problème, marque ✓ Résolu si tu l'as résolu sans lire la solution, ↻ À revoir sinon. Reprends les problèmes « à revoir » deux semaines plus tard, sans notes : c'est là que les idées s'installent. La page Mon suivi rassemble tes marques, et chaque parcours suggéré affiche ta progression.

Passer à l'étape suivante. Chaque étape se termine par des problèmes-repères dans chaque domaine. Tu es prêt pour l'étape suivante quand tu en résous au moins deux sur trois dans chaque domaine, seul et en moins de 1 h 30 chacun. Ne t'inquiète pas si un domaine avance moins vite : continue l'étape suivante dans les autres et reviens-y.

Étape 0 : les bases¶

Avant la shortlist, assure-toi de maîtriser ces outils. Les exercices d'échauffement des fiches indiquées s'y prêtent bien.

Rédiger une preuve : raisonnement par l'absurde, par récurrence, par contraposée ; distinguer « il suffit de » et « il faut ». Écris chaque solution en phrases complètes.
Algèbre : identités remarquables, factorisation, manipulation de sommes (\(\sum\)) et d'inégalités simples (\(x^2 \geq 0\) et ses conséquences). Échauffements de AM-GM et moyennes et de Suites et récurrences.
Combinatoire : dénombrements de base (permutations, coefficients binomiaux), principe des tiroirs dans sa forme simple. Échauffements de Principe des tiroirs et de Bijections et dénombrement.
Géométrie : angles inscrits, somme des angles, triangles isocèles, Thalès, Pythagore, triangles semblables. Fais toujours une grande figure soignée, au compas. Échauffements de Chasse aux angles et de Triangles semblables.
Théorie des nombres : divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, calcul modulo \(n\). Échauffements de Divisibilité et PGCD et de Congruences.

Repère : tu fais les exercices d'échauffement de ces fiches sans bloquer plus de quelques minutes sur chacun.

Étape 1 : fondations¶

Douze semaines, soit trois cycles. Dans chaque domaine, travaille les concepts dans l'ordre indiqué : ce sont les plus fréquents à l'OIM et ceux dont les autres dépendent. Dans chaque parcours suggéré, contente-toi des étapes Premiers pas et Consolidation.

Algèbre¶

AM-GM et moyennes : la première inégalité à connaître, et le cas d'égalité comme guide.
Suites et récurrences : calculer les premiers termes, conjecturer, démontrer.
Équations fonctionnelles : substitutions : les substitutions de base (\(x = y\), \(y = 0\)…), l'injectivité, la surjectivité, et la vérification des solutions trouvées.

À la fin, tu sais trouver le bon cas d'égalité d'une inégalité, et mener une équation fonctionnelle simple jusqu'au bout, vérification comprise.

Problèmes-repères : 2012 A3 ★ (OIM P2), 2014 A1 ★ (OIM P1), 2019 A1 ★ (OIM P1).

Combinatoire¶

Principe des tiroirs : choisir les bons tiroirs.
Invariants et monovariants : ce qui ne change pas, ce qui ne fait que croître.
Récurrence et constructions récursives : construire un exemple pour \(n + 1\) à partir de celui pour \(n\).

À la fin, tu commences un problème de combinatoire en testant les petits cas, et tu sais chercher une quantité qui ne change pas ou qui ne fait que diminuer.

Problèmes-repères : 2021 N2 ★ (OIM P1), 2012 C1 ★, 2022 C2 ★ (OIM P1).

Géométrie¶

Chasse aux angles et quadrilatères cycliques : l'outil de base, à pratiquer jusqu'à ce qu'il devienne un réflexe.
Triangles semblables et similitudes : passer des angles aux longueurs.

La géométrie demande surtout du volume : prends ici quelques problèmes de plus que dans les autres domaines.

À la fin, tu repères un quadrilatère inscriptible sur une figure et tu sais le démontrer, et tu passes d'égalités d'angles à des rapports de longueurs.

Problèmes-repères : 2018 G1 ★ (OIM P1), 2020 G2 ★ (OIM P1), 2007 G1 ★ (OIM P4).

Théorie des nombres¶

Divisibilité, PGCD et algorithme d'Euclide.
Congruences : réduire modulo un nombre bien choisi, petit théorème de Fermat.

À la fin, tu sais choisir un modulo qui élimine des cas, et exploiter « \(a\) divise \(b\) » pour obtenir des inégalités.

Problèmes-repères : 2011 A1 ★ (OIM P1), 2023 N1 ★ (OIM P1), 2017 N1 ★ (OIM P1).

Étape 2 : consolidation¶

Seize semaines, soit quatre cycles. De nouveaux concepts, et des problèmes ★★. Reprends aussi les parcours de l'étape 1 jusqu'à l'étape Consolidation si ce n'est pas fait.

Algèbre¶

Polynômes : racines, relations de Viète, factorisation.
Sommes, télescopage et transformation d'Abel.
Partie entière et majorations.
Cauchy-Schwarz et lemme de Titu : la deuxième grande inégalité, après AM-GM.

À la fin, tu passes facilement des racines d'un polynôme à ses coefficients, tu reconnais une somme télescopique, et tu sais choisir entre AM-GM et Cauchy-Schwarz.

Problèmes-repères : 2015 A1 ★, 2024 A1 ★ (OIM P1), 2023 A3 ★★ (OIM P4).

Combinatoire¶

Principe extrémal : considérer le plus grand, le plus petit, le plus long.
Double comptage : compter la même chose de deux façons.
Coloriages et pavages.
Jeux et stratégies gagnantes : symétrie, positions gagnantes et perdantes.

À la fin, tu as plusieurs angles d'attaque devant un problème inconnu : objet extrémal, double comptage, coloriage astucieux.

Problèmes-repères : 2015 C1 ★, 2014 C1 ★, 2018 C2 ★ (OIM P4).

Géométrie¶

Puissance d'un point et axe radical.
Centres du triangle et lemmes classiques : centre du cercle inscrit, orthocentre, lemme du pôle Sud.
Homothétie.
Trigonométrie : loi des sinus, comme filet de sécurité quand la synthèse bloque.

À la fin, tu reconnais les configurations classiques autour des centres du triangle, et tu sais prouver une cocyclicité ou un alignement de plusieurs façons.

Problèmes-repères : 2013 G1 ★ (OIM P4), 2021 G2 ★ (OIM P4), 2024 G2 ★ (OIM P4).

Théorie des nombres¶

Équations diophantiennes : factoriser, encadrer, réduire modulo.
Valuations p-adiques et lemme LTE : compter la puissance exacte d'un premier.
Fonctions arithmétiques : nombre et somme des diviseurs, indicatrice d'Euler.

À la fin, tu sais résoudre une équation en entiers en combinant factorisation, encadrement et congruences, et calculer la valuation \(p\)-adique d'une factorielle.

Problèmes-repères : 2019 N2 ★, 2019 N1 ★ (OIM P4), 2022 N4 ★★ (OIM P5).

Étape 3 : vers le niveau intermédiaire¶

Douze semaines ou plus. Les concepts restants sont plus spécialisés : ils apparaissent moins souvent comme idée principale, mais servent régulièrement d'outil. Dans les parcours suggérés, va jusqu'à l'étape Approfondissement.

À partir de cette étape, ajoute chaque mois une séance d'épreuve : deux problèmes ★ ou ★★ de domaines différents, tirés d'années que tu n'as pas encore travaillées, en 4 h 30 et sans indice, comme le jour de l'OIM. Corrige-toi ensuite avec les solutions officielles.

Algèbre¶

Convexité, inégalité de Jensen, lissage.
Polynômes à coefficients entiers : \(a - b\) divise \(P(a) - P(b)\).
Équations fonctionnelles : équation de Cauchy, monotonie.

Problèmes-repères : 2019 A2 ★, 2021 A4 ★★ (OIM P2), 2013 A3 ★★ (OIM P5).

Combinatoire¶

Problèmes-repères : 2013 C3 ★★, 2016 C1 ★, 2013 C2 ★ (OIM P2).

Géométrie¶

Ceva et Ménélaüs.
Retour sur puissance d'un point et homothétie avec des problèmes ★★ : c'est le cœur de la géométrie de niveau intermédiaire.
Coordonnées et nombres complexes : à connaître comme méthode de secours, sans en faire un réflexe.

Problèmes-repères : 2014 G2 ★★, 2006 G2 ★★, 2017 G4 ★★.

Théorie des nombres¶

Diviseurs premiers : choisir un premier qui divise, regarder le plus grand.
Théorème des restes chinois.
Ordre d'un élément et racines primitives : l'ordre d'un entier modulo \(p\).
Descente infinie et Vieta jumping.

Problèmes-repères : 2013 N3 ★★, 2016 N3 ★★ (OIM P4), 2017 N4 ★★.

Pour plus tard¶

Ces concepts supposent une bonne maîtrise des précédents. Garde-les pour après cette feuille de route, quand les problèmes ★★ deviennent réguliers :

Inversion et outils projectifs : puissants, mais utiles surtout sur les problèmes de géométrie difficiles.
Résidus quadratiques : presque toujours au service de problèmes ★★★ et plus.

Et après ?¶

Une fois les trois étapes terminées, reprends les parcours suggérés jusqu'à l'étape Défi, en commençant par ton domaine le plus faible. Les croisements montrent quels concepts se combinent le plus souvent, et les statistiques de l'OIM ceux qui reviennent le plus dans les épreuves : deux bons guides pour choisir sur quoi insister.