Shortlist 2006, N2¶
Domaine : Théorie des nombres · Difficulté : ★★☆☆☆ · Proposé par : Canada
Concepts : Ordre d'un élément et racines primitives · Congruences, théorèmes de Fermat et d'Euler
Solution officielle : Shortlist officielle 2006 (avec solutions), p. 56 (page 57 du PDF)
Énoncé¶
For \(x \in (0, 1)\) let \(y \in (0, 1)\) be the number whose \(n\)th digit after the decimal point is the \((2^n)\)th digit after the decimal point of \(x\). Show that if \(x\) is rational then so is \(y\).
Indices : les idées clés
- Développement périodique : \(x\) rationnel a un développement décimal périodique de période \(d = 2^u \cdot v\), \(v\) impair.
- Ordre de \(2\) modulo \(v\) : il existe \(w\) avec \(2^w \equiv 1 \pmod v\) (par exemple \(w = \varphi(v)\)).
- Périodicité : pour \(n \geq u\), \(2^{n+w} \equiv 2^n \pmod d\) (congruences), donc les chiffres de \(y\) sont périodiques de période \(w\).
Solutions
Les solutions ci-dessous suivent la solution officielle de la Shortlist 2006 (une solution).
Solution¶
Comme \(x\) est rationnel, ses chiffres se répètent périodiquement à partir d'un certain rang. On veut montrer qu'il en est de même des chiffres de \(y\), ce qui impliquera que \(y\) est rationnel.
Soit \(d\) la longueur de la période de \(x\), et écrivons \(d = 2^u \cdot v\), où \(v\) est impair. Il existe un entier \(w > 0\) tel que
(Par exemple, on peut choisir \(w = \varphi(v)\), valeur de l'indicatrice d'Euler en \(v\).) Donc
pour tout \(n\). De plus, pour \(n \geq u\), on a
Il s'ensuit que, pour tout \(n \geq u\), la relation
est vraie. Ainsi, pour \(n\) assez grand, le \(2^{n+w}\)-ième chiffre de \(x\) occupe la même place dans le cycle de \(x\) que son \(2^n\)-ième chiffre, et ces chiffres sont donc égaux. Donc le \((n + w)\)-ième chiffre de \(y\) est égal à son \(n\)-ième chiffre. Cela signifie que les chiffres de \(y\) se répètent périodiquement, de période \(w\), à partir d'un certain rang, comme voulu. \(\blacksquare\)